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Transport optimal et courbure de Ricci

Cédric Villani (2005-2006)

Séminaire Équations aux dérivées partielles

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Des liens inattendus ont été récemment mis à jour entre le transport optimal de Monge–Kantorovich et certains problèmes de géométrie riemannienne, en liaison avec la courbure de Ricci. Une des retombées de ces interactions est la naissance d’une théorie “synthétique” des espaces métriques mesurés à courbure de Ricci minorée, venant compléter la théorie classique des espaces métriqes à courbure sectionnelle minorée. Dans ce texte (également fourni aux actes du Séminaire de Théorie Spectrale...

Preuve de la conjecture de Poincaré en déformant la métrique par la courbure de Ricci

Gérard Besson (2004-2005)

Séminaire Bourbaki

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Nous présentons la preuve de la conjecture de Poincaré, concernant les variétés compactes simplement connexes de dimension 3 , proposée par G. Perel’man. Elle repose sur l’étude de l’évolution de métriques riemanniennes sous le flot de la courbure de Ricci et sur les travaux antérieurs de R. Hamilton. Après une introduction aux techniques analytiques et géométriques développées par R. Hamilton, nous tentons de décrire la méthode de chirurgie métrique utilisée par G. Perel’man pour franchir...

Géométrie conforme en dimension 4 : ce que l’analyse nous apprend

Christophe Margerin (2004-2005)

Séminaire Bourbaki

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Cet article présente les idées, les outils et les résultats qui ont permis à Chang S.-Y. A., M. Gursky et Yang P. de donner une caractérisation intégrale conforme de la sphère standard en dimension 4. Nous démarrons avec une généralisation à cette dimension de la formule de Polyakov pour les déterminants régularisés, que nous utilisons ensuite pour résoudre des problèmes du type “Yamabe” pour des polynômes quadratiques en la courbure de Ricci. Nous introduisons au passage le concept...

Métriques kählériennes à courbure scalaire constante : unicité, stabilité

Olivier Biquard (2004-2005)

Séminaire Bourbaki

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Un des problèmes les plus intéressants de la géométrie différentielle complexe consiste à comprendre les classes de Kähler de variétés complexes admettant des métriques à courbure scalaire constante. La question de l’unicité a été récemment résolue par Donaldson, Mabuchi, Chen–Tian. Des liens forts avec la stabilité algébrique des variétés ont été mis en évidence. L’exposé s’attachera à exposer les idées nouvelles qui ont mené à ces résultats.

Inégalité de Sobolev et volume asymptotique

Gilles Carron (2012)

Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques

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En 1999, M. Ledoux a démontré qu’une variété complète à courbure de Ricci positive ou nulle vérifiant une inégalité de Sobolev euclidienne était euclidienne. On présente un raccourci de la preuve. De plus nos arguments permettent un raffinement d’un résultat de B-L. Chen et X-P. Zhu à propos des variétés localement conformément plate à courbure de Ricci positive ou nulle. Enfin, on étudie ce qui se passe lorsque l’hypothèse sur la courbure de Ricci est remplacée par une hypothèse sur...

Capacité analytique et le problème de Painlevé

Hervé Pajot (2003-2004)

Séminaire Bourbaki

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Le problème de Painlevé consiste à trouver une caractérisation géométrique des sous-ensembles du plan complexe qui sont effaçables pour les fonctions holomorphes bornées. Ce problème d’analyse complexe a connu ces dernières années des avancées étonnantes, essentiellement grâce au dévelopement de techniques fines d’analyse réelle et de théorie de la mesure géométrique. Dans cet exposé, nous allons présenter et discuter une solution proposée par X. Tolsa en termes de courbure de Menger...