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Plongements bilipschitziens dans les espaces euclidiens, Q -courbure et flot quasi-conforme

Hervé Pajot (2006-2007)

Séminaire de théorie spectrale et géométrie

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Soit g 0 la métrique riemannienne standard sur ℝ 4 et soit g = e 2 u une déformation conforme lisse de g 0 . Nous présentons une condition suffisante en terme de Q -courbure pour que la variété ( ℝ 4 , g ) se plonge de façon bilipschitzienne, en tant qu’espace métrique, dans ( ℝ 4 , g 0 ) . Ce théorème du à Bonk, Heinonen et Saksman découle d’un résultat lié au problème du jacobien quasiconforme.

Problèmes de Yamabe généralisés et ses applications

Yuxin Ge (2006-2007)

Séminaire de théorie spectrale et géométrie

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On étudie quelques équations complètement non linéaires issues de la géométrie conforme. Par une méthode de flot géométrique, on prouve l’existence des solutions. En utilisant ce résultat analytique, on obtient un théorème sur la topologie de la variété : soit M une variété riemannienne compacte de dimension 3. S’il existe une metrique g à courbure scalaire strictement positive telle que l’intégrale de la σ 2 -courbure scalaire soit positive, alors M est difféomorphe à un quotient de la...

Suites de flots de Ricci en dimension 3 et applications

Thomas Richard (2009-2010)

Séminaire de théorie spectrale et géométrie

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Dans cet article, on passe en revue certains résultats dus à Miles Simon sur le flot de Ricci de certains espaces métriques de dimension 3 exposés dans [28] et [26]. On commence par voir le lien entre théorèmes de rigidité et convergence des variétés sur un exemple dû à Berger et Durumeric. On remarque ensuite que pour obtenir de tels théorèmes de rigidité en utilisant...

Transport de mesure et courbures de Ricci synthétiques dans le groupe de Heisenberg

Nicolas Juillet (2006-2007)

Séminaire de théorie spectrale et géométrie

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Dans ces notes il sera expliqué que la propriété M C P ( 0 , 5 ) est vérifiée par le groupe de Heisenberg ℍ 1 muni de la distance de Carnot-Carathéodory et de la mesure de Lebesgue. Cette propriété correspond pour les espaces métriques mesurés à une courbure de Ricci positive. Comme application, les mesures interpolées par transport de mesure sont absolument continues. En revanche, la courbure-dimension C D ( 0 , N ) , une autre courbure de Ricci synthétique adaptée aux espaces métriques mesurés est fausse pour...

Courbure discrète ponctuelle

Vincent Borrelli (2006-2007)

Séminaire de théorie spectrale et géométrie

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Soient S une surface de l’espace euclidien 𝔼 3 et M un ensemble de triangles euclidiens formant une approximation linéaire par morceaux de S autour d’un point P ∈ S , la K d ( P ) au sommet P de M est, par définition, le quotient du défaut angulaire par la somme des aires des triangles ayant P comme sommet. Un problème naturel est d’estimer la différence entre cette courbure discrète K d ( S ) et la courbure lisse K ( P ) de S en P . Nous présentons dans cet article des résultats obtenus dans [], [],...

Optimalité systolique infinitésimale de l’oscillateur harmonique

J.C. Álvarez Paiva, Florent Balacheff (2008-2009)

Séminaire de théorie spectrale et géométrie

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Nous étudions les aspects infinitésimaux du problème suivant. Soit H un hamiltonien de ℝ 2 n dont la surface d’énergie { H = 1 } borde un domaine compact et étoilé de volume identique à celui de la boule unité de ℝ 2 n . La surface d’énergie { H = 1 } contient-elle une orbite périodique du système hamiltonien q ˙ = ∂ H ∂ p p ˙ = - ∂ H ∂ q dont l’action soit au plus π  ?