Let $F$ be a holomorphic map from ${ℂ}^s$ to ${ℂ}^s$ defined in a neighborhood of zero such that $F\left(0\right)=0.$ If the jacobian determinant of $F$ is not identically zero, P. M. Eakin and G. A. Harris proved the following result: any formal power series $𝒜$ such that $𝒜\circ F$ is analytic is itself analytic. If the jacobian determinant of $F$ is identically zero, they proved that the previous conclusion is no more true. J. Chaumat and A.-M. Chollet extended this result in the case of formal power series satisfying growth conditions,...

Soit $P\in ℝ[X_1,...,X_n]$ un polynôme. On appelle série de Dirichlet associée à $P$ la fonction : $s\mapsto Z(P;s)=\sum _{m\in {\mathbb{N}}^{*n}}P(m{)}^{-s}(s\in ℂ)$. Dans cet article nous étudions l’existence et les propriétés du prolongement méromorphe d’une telle série sous l’hypothèse qu’il existe $B\in ]0,1[$ tel que : i) $P\left(x\right)\to +\infty$ quand $\left|\right|x\left|\right|\to +\infty$ et $x\in [B,+\infty {[}^n$ et ii) $d\left(Z\right(P),[B,+\infty {[}^n)\>0$ où $Z\left(P\right)=\{z\in {ℂ}^n|P\left(z\right)=0\}$. Cette hypothèse est probablement optimale et en tout cas contient strictement toutes les classes de polynômes déjà traitées antérieurement. Sous cette hypothèse nos principaux résultats sont : l’existence du prolongement méromorphe...

L’article donne des réponses optimales ou presque optimales aux questions suivantes, qui remontent à Stieltjes, Landau et Bohr, et concernent des séries de Dirichlet $A_j=\sum _{n=1}^{\infty }a(j,n)n^{-s}$ $(j=1,2,\cdots ,k)$ et leur produit $C=\sum _{n=1}^{\infty }c\left(n\right)n^{-s}.$ 1. Supposant que les $A_j$ sont convergentes aux points ${\rho }_j$ et absolument convergentes aux points ${\rho }_j+{\tau }_j,$ en quels points $s$ s’ensuit-il que $C$ est convergente ? 2. Supposant que les $A_j$ sont...

Cet article est consacré à l’étude d’un problème lié au critère de Beurling Nyman sur l’hypothèse de Riemann. On y étudie la continuité de la projection de la fonction indicatrice de l’intervalle $]0,1]$ sur un sous-espace vectoriel variable de l’ensemble des fonctions dont le carré est intégrable sur la demi-droite réelle, engendré par des fonctions dilatées de la fonction partie fractionnaire. Plus généralement, $y$ étant un élément fixé d’un espace de Hilbert $H$, on étudie l’application qui...

Cette note contient deux résultats : - d’une part, une majoration de l’abscisse d’absolue convergence du développement en série de Dirichlet de l’inverse de la somme d’une série de Dirichlet donnée. - d’autre part, le fait que tout polynôme de Dirichlet non constant $$1+\sum _{2\le k\le N}{a}_k{\lambda }_k^{-s}\text{où}\text{les}{a}_k\text{sont}\text{des}\text{entiers}\text{relatifs}$$ et les ${\lambda }_k$ sont des nombres réels $\>1$ s’annule dans tout demi-plan Réel $s\>-ϵ$ où $ϵ\>0$. L’un et l’autre de ces résultats sont conséquences d’une proposition que l’on démontre...

Soit $\omega \left(x\right)={\sum }_{i=1}^n{a}_i\left(x\right)d{x}_i$ un germe en $0\in {\mathbf{R}}^n$ d’une forme de Pfaff, complètement intégrable ($\omega \wedge d\omega =0$) de classe $C^{\infty }$ ou analytique, dont 0 est un zéro algébriquement isolé $({\dim }_{\mathbf{R}}{E}_n/[a_1,a_2,...,a_n]\<\infty ).$ La matrice $\left(\frac{\partial a_i}{\partial x_j}\left(0\right)\right)$ est symétrique ; soit $q_w$ la forme quadratique correspondante. On montre dans ce travail : i) que $\omega$ possède une intégrale première formelle (i.e., $j^{\infty }\omega =gdf$, $g\left(0\right)\ne 0$ où $f$ et $g$ sont des séries formelles). ii) que, si $\omega$ est analytique et rang $q_w\ge 2$, $\omega$ possède une intégrale première analytique (i.e. $\omega =gdf$, $g\left(0\right)\ne 0$, $g,f\in 0_n$). iii) que, si...