Nous étudions les aspects infinitésimaux du problème suivant. Soit $H$ un hamiltonien de ${ℝ}^{2n}$ dont la surface d’énergie $\{H=1\}$ borde un domaine compact et étoilé de volume identique à celui de la boule unité de ${ℝ}^{2n}$. La surface d’énergie $\{H=1\}$ contient-elle une orbite périodique du système hamiltonien $$\left\{\begin{array}{cc}\dot{q}\hfill & =\frac{\partial H}{\partial p}\hfill \\ \dot{p}\hfill & =-\frac{\partial H}{\partial q}\hfill \end{array}\right.$$ dont l’action soit au plus $\pi$ ?

Let Ω be a bounded pseudoconvex domain in ${ℂ}^n$ with $C^1$ boundary and let X be a complete intersection submanifold of Ω, defined by holomorphic functions $v_1,...,v_p$ (1 ≤ p ≤ n-1) smooth up to ∂Ω. We give sufficient conditions ensuring that a function f holomorphic in X (resp. in Ω, vanishing on X), and smooth up to the boundary, extends to a function g holomorphic in Ω and belonging to a given strongly non-quasianalytic Carleman class $l!M_l$ in $\overline{\Omega }$ (resp. satisfies $f=v_1{f}_1+...+v_p{f}_p$ with $f_1,...,f_p$ holomorphic in Ω and $l!M_l$-regular...

Let $M$ be a smooth manifold, $A$ a local algebra in sense of André Weil, $M^A$ the manifold of near points on $M$ of kind $A$ and $𝔛\left(M^A\right)$ the module of vector fields on $M^A$. We give a new definition of vector fields on $M^A$ and we show that $𝔛\left(M^A\right)$ is a Lie algebra over $A$. We study the cohomology of $A$-differential forms. Résumé. On considère $M$ une variété différentielle, $A$ une algèbre locale au sens d’André Weil, $M^A$ la variété des points proches de $M$ d’espèce $A$ et $𝔛\left(M^A\right)$ le module des champs de vecteurs sur $M^A$. On donne...

Soit $K$ un corps $p$-adique, $G$ son groupe de Galois absolu et $v$ la valuation sur ${\mathbf{C}}_p$. Dans sa démonstration du théorème d’Ax-Sen-Tate, Ax montre que si pour un $A\in \mathbf{R}$, $x\in {\mathbf{C}}_p$ vérifie $v(\sigma x-x)\ge A$ pour tout $\sigma \in G$, alors il existe $y\in K$ tel que $v(x-y)\ge A-c$, avec $c=p/{(p-1)}^2$. Ax se pose la question de l’optimalité de la constante $c$, que nous étudions ici. En utilisant l’extension de $K$ engendrée par les racines $p^m$-es d’une uniformisante fixée de $K$, nous déterminons la constante optimale, ainsi que des informations supplémentaires sur les $x\in {\mathbf{C}}_p$ tels...

Soit $F$ un polynôme en deux variables, de degré $D$ et à coefficients entiers dans $[-M,M]$ pour $M\ge 3$. Alors le nombre de zéros rationnels de $F$ est soit infini soit plus petit que $M^{2^{3^{D^2}}}$. Nous montrons aussi une version plus générale sur les corps de nombres.