Ce papier porte sur l’étude mathématique d’une équation du type de Grad-Mercier qui décrit, dans certaines circonstances, l’équilibre d’un plasma confiné [H. Grad, P.N. Hu et D.C. Stevens, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 72,n${}^{\circ }$10 (1975), 3789–3793, C. Mercier, Publication of Euratom, CEA, Luxembourg (1974), C. Mercier, Communications personnelles à R. Temam et aux auteurs]. Il s’agit de trouver une fonction “régulière” $u$ solution du système $$\left\{\begin{array}{cc}-\Delta u+\lambda g\left[\delta \right(u\left)\right]=0\hfill & \text{dans}\Omega ,\hfill \\ u=\text{constante}\text{(inconnue)}\>0\hfill & \text{sur}\partial \Omega ,\hfill \\ {\int }_{\partial \Omega }\frac{\partial u}{\partial n}=I,\hfill \end{array}\right.$$ où $\Omega$ est un ouvert borné...

La sous-algèbre fermée des fonctions radiales de $\mathbf{F}{l}^1(R^n)$ est une algèbre de fonctions sur ${\mathbf{R}}^{+}$ qui coïncide, sur tout compact de $]0,+\infty [$, avec l’algèbre transformée de Fourier des fonctions sur $\mathbf{R}$ sommables avec le poids $(1+|x|{)}^{\frac{n-1}{2}}$.

Let $J_k\left(n\right):=n^k{\prod }_{p\mid n}(1-p^{-k})$ (the $k$-th Jordan totient function, and for $k=1$ the Euler phi function), and consider the associated error term $$E_k\left(x\right):=\sum _{n\le x}{J}_k\left(n\right)-\frac{x^{k+1}}{(k+1)\zeta (k+1)}.$$ When $k\ge 2$, both $i_k:=E_k\left(x\right)x^{-k}$ and $s_k:=lim\; sup{E}_k\left(x\right)x^{-k}$ are finite, and we are interested in estimating these quantities. We may consider instead $$Ik:=\underset{n\in \mathbb{N},n\to \infty }{lim\; inf}$$ d 1 (d)dk ( 12 - { nd} ), since from [AS] $i_k=I_k-{\left(\zeta (k+1)\right)}^{-}1$ and from the present paper $s_k=-i_k$. We show that $I_k$ belongs to an interval of the form $$\left(\frac{1}{2\zeta \left(k\right)}-\frac{1}{(k-1)N^{k-1}},\frac{1}{2\zeta \left(k\right)}\right),$$ where $N=N\left(k\right)\to \infty$ as $k\to \infty$. From a more practical point of view we describe...

Le but de cet article est l’étude de la compétition Réaction-Diffusion pour un problème de type ${\displaystyle \beta {\left(w\right)}_t-d_{\epsilon }diva(x,Dw)+r_{\epsilon }g\left(x,\beta \left(w\right)\right)=f,}$ où $\mathbf{a}$ est un opérateur de Lerray-Lions, $\beta$ est une fonction continue croissante et la réaction $g$ est une fonction croissante qui dépend de l’espace $x$. On suppose que les coefficients de diffusion $d_{\epsilon }$ et de Réaction $r_{\epsilon }$ dépendent du paramètre $\epsilon$ avec $d_{\epsilon }$ et/ou $r_{\epsilon }$ tends vers $+\infty$ lorsque ${\displaystyle \epsilon \to 0}$. Dans le cas où, le coefficient de réaction est très rapide, nous étudions le comportement asymptotique lorsque ${\displaystyle t\to \infty }$...

$f$ étant une fonction mesurable : ${\mathbf{R}}^{+}\to {\mathbf{R}}^{+}$, on cherche à caractériser l’ensemble des couples $(\frac{1}{p},\theta )$ tels que $${\int }_0^{\infty }\left(f\right(t)t^{\theta })p\frac{dt}{t}\<\infty$$ ($\theta$ est réel, et $0\<p\le \infty$).

$s\left(n\right)$ désigne la somme des chiffres de l’entier $n$ en base $q$ et ${\sigma }_{\alpha }\left(n\right)$ la somme des chiffres de $n$ associée au développement en fraction continue de $\alpha$. La suite $\left(xs\right(n)+y{\alpha }_{\alpha }(n){)}_{n\in \mathbf{N}}$ est équirépartie modulo 1 si et seulement si $x$ ou $y$ est irrationnel.