On sait (Cobham) qu’une suite $2$- et $3$-automatique est une suite rationnelle. Une question de Loxton et van der Poorten étend ce résultat au cas $2$- et $3$-régulier. On montre dans cet article que, si une suite vérifie une récurrence $2$- et $3$-mahlérienne d’ordre un, elle est rationnelle.

$\Lambda$ étant une suite de nombres réels, soit $B\left(\Lambda \right)$ l’ensemble normal associé. Pour $A\subset ℝ$, nous étudions la question : existe-t-il une suite $\Lambda$ à valeurs dans un intervalle borné $I$ telle que $A=B\left(\Lambda \right)$ ? Dans l’affirmative, nous cherchons alors à minimiser la longueur de l’intervalle $I$. Dans les cas les plus simples, où $A\subset \mathbb{Z}$, ce problème se ramène à minimiser le degré de $Q\in ℝ\left[X\right]$, avec la contrainte «$PQ$ a tous ses coefficients positifs», pour des polynômes $P$ de type très particulier associés aux ensembles...

Nous caractérisons les couples de fonctions différentiables $(f,g)$, définies sur une variété compacte $V$ de dimension $\ge 2$, qui sont simultanément stables en ce sens que, pour tout couple $(f^{\text{'}},g^{\text{'}})$ assez voisin, il existe un difféomorphisme $h$ de $V$ et deux difféomorphismes $\lambda$ et $\mu$ de $\mathbf{R}$ tels que $h$ et $\lambda$ échangent $f$ et $f^{\text{'}}$ alors que $h$ et $\mu$ échangent $g$ et $g^{\text{'}}$. L’outil essentiel est une technique de résolution des équations du type $\eta \left(x\right)=X=(x^2+x^3)+(1+x)Y\left(x_2\right)$ où les inconnues $X$ et $Y$ sont des fonctions de classe $C^{\infty }$.

Soit $K$ un compact de $C^n$ de la forme $K={\Pi }_{i=1}^r{K}_i$ où chaque $K_i$ est soit l’adhérence d’un domaine strictement pseudoconvexe dans $C^{n_i}$, soit l’adhérence d’un polyèdre de Weil régulier, ou encore un compact de $C$. $E$ étant un espace de Fréchet, on montre que lorsque $f$ appartient à ${\mathbf{C}}^1(K,E)$ avec $\bar{\partial }f\cong 0$ alors $f$ est approchable uniformément sur $K$ par des fonctions holomorphes au voisinage de $K$ et à valeurs dans $E$. On donne également des résultats de localisation pour l’espace $H(K,E)$.

L’objet de la note est l’extension du principe de la borne uniforme pour le cas des suites d’opérations bornées et homogènes, mais non sous-additives. Dans ce but l’auteur introduit la notion de suite asymptotiquement sous-additive : la suite d’opérations $u_n\left(x\right)$ définies dans un espace complet $E$ est asymptotiquement sous-additive, si elle satisfait aux conditions $$\parallel u_n(x+y)\parallel \le \parallel u_n\left(x\right)\parallel +O\left(\right|u_n|·\parallel y\parallel )$$ uniformément pour $x,y\in E$ et $$\underset{\parallel y\parallel \le 1}{inf}[\parallel u_n(x+y)\parallel +\parallel u_n\left(x\right)\parallel -\parallel u_n\left(y\right)\parallel ]\ge O(|u_n\left|\right)$$ pour chaque $x\in E$, mais non nécessairement uniformément...