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Irrationalité de valeurs de zêta

Stéphane Fischler (2002-2003)

Séminaire Bourbaki

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Les valeurs aux entiers pairs (strictement positifs) de la fonction ζ de Riemann sont transcendantes, car ce sont des multiples rationnels de puissances de π . En revanche, on sait très peu de choses sur la nature arithmétique des ζ ( 2 k + 1 ) , pour k ≥ 1 entier. Apéry a démontré en 1978 que ζ ( 3 ) est irrationnel. Rivoal a prouvé en 2000 qu’une infinité de ζ ( 2 k + 1 ) sont irrationnels, mais sans pouvoir en exhiber aucun autre que ζ ( 3 ) . Il existe plusieurs points de vue sur la preuve d’Apéry ; celui des séries hypergéométriques...

La mesure d’équilibre d’un endomorphisme de ℙ k ( ℂ )

Xavier Buff (2004-2005)

Séminaire Bourbaki

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Soit f un endomorphisme holomorphe de ℙ k ( ℂ ) . Je présenterai une construction géométrique, due à Briend et Duval, d’une mesure de probabilité μ ayant les propriétés suivantes : μ reflète la distribution des préimages des points en dehors d’un ensemble exceptionnel algébrique, les points périodiques répulsifs de f s’équidistribuent par rapport à μ et μ est l’unique mesure d’entropie maximale de f .

Progressions arithmétiques dans les nombres premiers

Bernard Host (2004-2005)

Séminaire Bourbaki

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Récemment, B. Green et T. Tao ont montré que : répondant ainsi à une question ancienne à la formulation particulièrement simple. La démonstration n’utilise aucune des méthodes “transcendantes” ni aucun des grands théorèmes de la théorie analytique des nombres. Elle est écrite dans un proche de celui de la théorie ergodique, en particulier de celui de la preuve par Furstenberg du théorème de Szemerédi, mais elle n’utilise aucun théorème provenant de cette théorie. La méthode peut ainsi...

L’élaboration par Riemann d’une définition de la dérivation d’ordre non entier

Stéphane Dugowson (1997)

Revue d'histoire des mathématiques

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Cet article étudie le contenu et la réception du mémoire peu connu (Essai d’une conception générale de l’intégration et de la dérivation) que Riemann a consacré dans sa jeunesse à la dérivation d’ordre non entier. En revendiquant l’héritage de Lagrange et en utilisant des séries divergentes, il s’y oppose directement à Cauchy. Un siècle plus tard, Hardy montre qu’une partie des considérations développées par Riemann peut être interprétée à la lumière de la théorie des séries divergentes...

Écarts entre nombres premiers successifs

Emmanuel Kowalski (2005-2006)

Séminaire Bourbaki

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Le théorème des nombres premiers dit que la distance entre deux nombres premiers consécutifs p n < p n + 1 est, en moyenne, de l’ordre de ln ( p n ) . Récemment, D. Goldston, J. Pintz et C. Yıldırım sont parvenus à démontrer que la distance normalisée ( p n + 1 - p n ) / ln ( p n ) pouvait devenir arbitrairement petite, améliorant spectaculairement les résultats connus auparavant. Sous des hypothèses considérées comme raisonnables, ils parviennent à montrer que p n + 1 - p n < 16 infiniment souvent. Leur méthode est une très jolie application d’idées...

Amibes de variétés algébriques et dénombrement de courbes

Ilia Itenberg (2002-2003)

Séminaire Bourbaki

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Les des variétés algébriques dans ( ℂ * ) n sont les images de ces variétés par l’application des moments Log : ( ℂ * ) n → ℝ n , Log : ( z 1 , ... , z n ) ↦ ( log | z 1 | , ... , log | z n | ) . Des résultats obtenus par G. Mikhalkin montrent l’utilité des amibes pour l’étude des variétés algébriques réelles et complexes. Les amibes peuvent être déformées en des complexes polyédraux appelés. Cette déformation permet, en particulier, de calculer les invariants de Gromov-Witten du plan projectif et d’autres surfaces toriques en dénombrant des courbes tropicales.