$s\left(n\right)$ désigne la somme des chiffres de l’entier $n$ en base $q$ et ${\sigma }_{\alpha }\left(n\right)$ la somme des chiffres de $n$ associée au développement de $\alpha$ en fraction continue. Dans un article paru aux Annales de l’Institut Fourier (31 (1981), 1–15), Coquet, Rhin et Toffin montrent que, lorsque $x$ ou $y$ est irrationnel, la suite $xs+y{\sigma }_{\alpha }$ est équirépartie modulo 1. On précise ici que l’équirépartition est uniforme.

$\Lambda$ étant une suite de nombres complexes ${\lambda }_j$ $(0\<|{\lambda }_1|\le |{\lambda }_2|...)$, on désigne par ${ℰ}_I\left(\Lambda \right)$ (resp. ${ℰ}_K\left(\Lambda \right))$ l’ensemble des fonctions $f\left(x\right)$ (resp. $f\left(z\right)$) définies sur un segment $I$ (resp. sur un compact $K$ du plan complexe) et uniformément approchables sur $I$ (resp. sur $K$) par des combinaisons linéaires ${\sum }_1^N{a}_{j,N}{e}^{i{\lambda }_{j}x}\left(\mathrm{resp}.{\sum }_4^N{a}_{j,N}{e}^{i{\lambda }_{j}z}\right)$. On désigne par $ℰ\left(\Lambda \right)$ l’ensemble des fonctions continues) sur la droite dont les restrictions à tout segment $I$ appartiennent à ${ℰ}_I\left(\Lambda \right)$, par ${ℰ}_{\Omega }\left(P\right)$ l’ensemble des fonctions (holomorphes) sur un ouvert $\Omega$ du plan complexe...

L’objet de la note est l’extension du principe de la borne uniforme pour le cas des suites d’opérations bornées et homogènes, mais non sous-additives. Dans ce but l’auteur introduit la notion de suite asymptotiquement sous-additive : la suite d’opérations $u_n\left(x\right)$ définies dans un espace complet $E$ est asymptotiquement sous-additive, si elle satisfait aux conditions $$\parallel u_n(x+y)\parallel \le \parallel u_n\left(x\right)\parallel +O\left(\right|u_n|·\parallel y\parallel )$$ uniformément pour $x,y\in E$ et $$\underset{\parallel y\parallel \le 1}{inf}[\parallel u_n(x+y)\parallel +\parallel u_n\left(x\right)\parallel -\parallel u_n\left(y\right)\parallel ]\ge O(|u_n\left|\right)$$ pour chaque $x\in E$, mais non nécessairement uniformément...

Soient $A_p=\{0,\cdots ,p-1\}$ et $Z\subseteq A_p^{\mathbb{N}}\times A_p^{\mathbb{N}}$ un sous-système. $Z$ est une représentation en base $p$ d’une fonction $f$ du tore si pour tout point $x$ du tore, ses développements en base $p$ sont liés par le couplage $Z$ aux développements en base $p$ de $f\left(x\right)$. On prouve que si $f$ est représentable en base $p$ alors $f\left(x\right)=(ux+\frac{m}{p-1})\text{mod}1$, où $u\in \mathbb{Z}\text{et}m\in A_p$. Réciproquement, toutes les fonctions de ce type sont représentables en base $p$ par un transducteur. On montre finalement que les fonctions du tore qui peuvent être représentées par automate cellulaire sont exclusivement...

Dans cet article, nous étudions la dynamique des échanges d’intervalles affines dont les pentes sont des puissances d’un même entier $m$ et dont les coupures et leurs images sont des rationnels. Nous montrons qu’une telle application a une dynamique très simple  : toutes ses orbites sont propres et elle possède au moins une orbite périodique ou un cycle périodique. Comme corollaire de ce résultat, nous montrons que les éléments de distortion dans les groupes de Higman-Thompson $V_{r,m}$ sont ceux...

Soient $F$ un corps local non archimédien, $N$ un entier $\ge 2$, $\underset{\_}{G}=GL\left(N\right)$, $n$ un entier $\ge 1$ et $\mathscr{H}\left(\underset{\_}{G}\right(F),K_F^n)$ l’algèbre de Hecke de $\underset{\_}{G}\left(F\right)$ relative au sous-groupe de congruence modulo ${𝒫}_F^n$ de $\underset{\_}{G}({𝒪}_F)$. On prouve une formule explicite pour les intégrales orbitales elliptiques des fonctions de $\mathscr{H}\left(\underset{\_}{G}\right(F),K_F^n)$. Grâce à cette formule, pour $\gamma \in \underset{\_}{G}\left(F\right)$ semi-simple régulier, on produit un entier $r=r(\gamma ,n)\ge n$ tel que pour tout corps local non archimédien $F^{\text{'}}$ $r$-proche de $F$ (i.e. tel qu’il existe un isomorphisme d’anneaux ${𝒪}_F/{𝒫}_F^r\simeq {𝒪}_{F^{\text{'}}}/{𝒫}_{F^{\text{'}}}^r$), il existe ${\gamma }^{\text{'}}\in \underset{\_}{G}(F^{\text{'}})$ semi-simple régulier tel...