On sait (Cobham) qu’une suite $2$- et $3$-automatique est une suite rationnelle. Une question de Loxton et van der Poorten étend ce résultat au cas $2$- et $3$-régulier. On montre dans cet article que, si une suite vérifie une récurrence $2$- et $3$-mahlérienne d’ordre un, elle est rationnelle.

Soit $S$ une partie finie de ${\mathbf{P}}^n$, $t$ un entier positif et ${\omega }_t\left(S\right)$ le plus petit degré des hypersurfaces de ${\mathbf{P}}^n$ ayant en chaque point de S une singularité de multiplicité $\ge t$. Un théorème d’existence de J.-P. Demailly concernant le prolongement des fonctions analytiques définies au voisinage d’une sous-variété linéaire de ${\mathbf{C}}^n$ nous permet d’obtenir des minorations fines de ${\omega }_t\left(S\right)/t$ pour tout $t$. En particulier, nous montrons $$({\omega }_{t_1}\left(S\right)+n-a-1)/(t_1+n-1)\le {\omega }_t\left(S\right)/t$$ où $a$ est la dimension de l’ensemble des points singuliers non...

Carlitz a défini pour les corps de fonctions l’analogue du réel $\pi$ et Goss l’analogue des fonctions $L$ de Dirichlet. Nous prouvons dans un cas particulier qu’il existe des valeurs entières $s$ et des caractères $\chi$ pour lesquels $L(s,\chi )/{\pi }^8$ peut être rationnel, algébrique ou bien transcendant.

Dans cet article, nous démontrons deux résultats. L’un concerne les séries $f^{\text{'}}\left(z\right)=\sum a\left(n\right)z^n/n!$ telles que $\sum a\left(n\right)x^n$ est une série algébrique. Soit $AE$ cet ensemble de fonctions. Si $f$ appartient à $AE$, et si $g\left(z\right)$ est un polynôme-exponentiel tel que $h\left(z\right)=f\left(z\right)/g\left(z\right)$ est entière, alors il existe un polynôme $P\left(z\right)$ tel que $P\left(z\right)h\left(z\right)$ appartienne à $AE$. L’autre résultat est parallèle au premier. Soit $\sum u\left(n\right)x^n$ une série algébrique à coefficients dans un corps $𝕂$ (qui est soit $𝕂$, soit un corps quadratique imaginaire). Soit $\sum v\left(n\right)x^n$ une série rationnelle à...

Soit $K$ un compact de $C^n$ de la forme $K={\Pi }_{i=1}^r{K}_i$ où chaque $K_i$ est soit l’adhérence d’un domaine strictement pseudoconvexe dans $C^{n_i}$, soit l’adhérence d’un polyèdre de Weil régulier, ou encore un compact de $C$. $E$ étant un espace de Fréchet, on montre que lorsque $f$ appartient à ${\mathbf{C}}^1(K,E)$ avec $\bar{\partial }f\cong 0$ alors $f$ est approchable uniformément sur $K$ par des fonctions holomorphes au voisinage de $K$ et à valeurs dans $E$. On donne également des résultats de localisation pour l’espace $H(K,E)$.

Nous caractérisons les couples de fonctions différentiables $(f,g)$, définies sur une variété compacte $V$ de dimension $\ge 2$, qui sont simultanément stables en ce sens que, pour tout couple $(f^{\text{'}},g^{\text{'}})$ assez voisin, il existe un difféomorphisme $h$ de $V$ et deux difféomorphismes $\lambda$ et $\mu$ de $\mathbf{R}$ tels que $h$ et $\lambda$ échangent $f$ et $f^{\text{'}}$ alors que $h$ et $\mu$ échangent $g$ et $g^{\text{'}}$. L’outil essentiel est une technique de résolution des équations du type $\eta \left(x\right)=X=(x^2+x^3)+(1+x)Y\left(x_2\right)$ où les inconnues $X$ et $Y$ sont des fonctions de classe $C^{\infty }$.