Sur le théorème du produit

Gaël Rémond

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Sur la convergence faible des systèmes dynamiques échantillonnés

Nadine Guillotin-Plantard (2004)

Annales de l’institut Fourier

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Soit $T_{α}$ la rotation sur le cercle d’angle irrationnel $α$ , soit ${(S_{k})}_{k \geq 0}$ une marche aléatoire transiente sur $ℤ$ . Soit $f \in L^{2} (μ)$ et $H \in] 0, 1 [$ , nous étudions la convergence faible de la suite $\frac{1}{n^{H}} \sum_{k = 0}^{[n t] - 1} f \circ T_{α}^{S_{k}}, n \geq 1 .$

Discrépance de la suite $({n α}), α = (1 + \sqrt{5}) / 2$

Yves Dupain (1979)

Annales de l'institut Fourier

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Soit $D^{*} (N)$ la discrépance “à l’origine” de la suite $(\{n \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\})$ . Nous montrons que $lim sup \frac{D^{*} (N)}{Log N} = \frac{3}{20} {(Log \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{- 1} = 0.31 \dots$ , quantité inférieure à celle correspondant à la suite de van der Corput. Les techniques utilisées sont celles liées au développement en fraction continue.

À propos de la série $\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{x^{n}}{q^{n} - 1}$

Daniel Duverney (1996)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Nombre de points des jacobiennes sur un corps fini

Gilles Lachaud, Mireille Martin-Deschamps (1990)

Acta Arithmetica

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Fonction $ζ$ de Carlitz et automates

Valérie Berthé (1993)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Carlitz a défini sur $𝔽_{q}$ une fonction $ζ$ et une série formelle $I I$ , analogues respectivement à la fonction $ζ$ de Riemann et au réel $π$ . Yu a montré, en utilisant les modules de Drinfeld, que $ζ (s) / I I^{3}$ est transcendant pour tout $s$ non divisible par $q - 1$ . Nous donnons ici une preuve «automatique» de la transcendance de $ζ (s) / I I^{3}$ pour $1 \leq s \leq q - 2$ , en utilisant le théorème de Christol, Kamae, Mendès France et Rauzy.

Sur le produit $Γ (s / 2) \sum (α_{n} / n^{s})$

S. Mandelbrojt (1933)

Prace Matematyczno-Fizyczne

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Sur la méthode de Van der Corput pour les sommes d'exponentielles

Marouan Redouaby (2001)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Pour majorer la somme d’exponentielle $\sum_{m = M + 1}^{2 M} e (T F (m / M)),$ où $F :$ [1,2] $\to ℝ$ est une fonction “presque monomiale”, $M$ est une entier grand et $T$ un réel grand devant $M^{4}$ , nous étudions le procédé $A^{k} B A D, où A et B$ désignent comme d’habitude les transformations $A et B$ de Van der Corput [2], et où $D$ désigne le double grand crible appliqué dans l’esprit de Fouvry et Iwaniec [1]. Nos résultats complètent le tableau 17.1 de [5] (voir également [4]) et sont résumés dans le corollaire 2 ci-dessous.

Sur les moyennes arithmétiques des suites de fonctions orthogonales

I. S. Gal (1949)

Annales de l'institut Fourier

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Soit ${φ_{ν} (x)}$ une suite orthonormale dans l’intervalle $(- \infty < a \leq x \leq b < \infty)$ . L’auteur démontre, que $\sum_{ν = 1}^{N} (1 - \frac{ν - 1}{N}) φ_{ν} (x) = 0 (N^{\frac{1}{2}} (log N)^{\frac{1}{2} + ϵ})$ pour tout $ϵ > 0$ et presque partout dans $a \leq x \leq b$ . La démonstration est basée sur un théorème de MM. Gál et Koksma et on peut généraliser aussi pour le cas $- \infty \leq x \leq \infty$ (théorème auxiliaire). En utilisant ce théorème auxiliaire on obtient tout de suite l’estimation connue pour les fonctions de Lebesgue (théorème 2) [voir Kaczmarcz et Steinhaus, Theorie der Orthogonalreihen, Warszawa, 1935, 577].