Soient $\mathbf{K}=\mathbf{Q}\left(\sqrt{-pq(2+\sqrt{2})}\right)$ où $p$ et $q$ deux nombres premiers différents tels que $p\equiv q\equiv \pm 5mod8$, ${\mathbf{K}}_2^{\left(1\right)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $\mathbf{K}$, ${\mathbf{K}}_2^{\left(2\right)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de ${\mathbf{K}}_2^{\left(1\right)}$ et $G$ le groupe de Galois de ${\mathbf{K}}_2^{\left(2\right)}/K$. D’après [], la $2$-partie $C_{2,\mathbf{K}}$ du groupe de classes de $\mathbf{K}$ est de type $(2,2)$, par suite ${\mathbf{K}}_2^{\left(1\right)}$ contient trois extensions ${\mathbf{F}}_i/\mathbf{K}$ ; $i=1,2,3$. Dans ce papier, on s’interesse au problème de capitulation des $2$-classes d’idéaux de $\mathbf{K}$ dans ${\mathbf{F}}_i$ $(i=1,2,3)$ et à déterminer la structure de $G$.

Soit $a$ un entier $\ge 3$. Pour $\alpha =(a+\sqrt{a^2-4})/2$ et $\beta =(a-\sqrt{a^2-4})/2$, nous considérons la suite de Lucas ${𝑢}_{𝑛}=({\alpha }^{𝑛}-{\beta }^{𝑛})/(\alpha -\beta )$. Nous montrons que, pour $a\ge 4,{𝑢}_{𝑛}$ n’est ni un carré, ni le double, ni le triple d’un carré, ni six fois un carré pour $n\>3$ sauf si $a=338$ et $n=4$.

Soit $C$ la courbe projective lisse et irréductible, définie sur $Q$, et dont un modèle affine est donné par $y^2=x^5-1$. On désigne par $\infty$ l’unique point de $C$ qui n’est pas contenu dans cette partie affine. Soit $J$ la jacobienne de $C$ et soit $\phi :C^2⟶J$ le morphisme associant à chaque couple $(\xi ,\eta )$ de points de $C$ la classe du diviseur $\left[\xi \right]+\left[\eta \right]-2\left[\infty \right]$ dans Pic${}_{0}C$. Soient $u,v,f$ les trois fonctions rationnelles sur $J$ définies par $$\begin{array}{cc}\hfill u\circ \phi (\xi ,\eta )& =x\left(\xi \right)+x\left(\eta \right),\hfill \\ \hfill v\circ \phi (\xi ,\eta )& =x\left(\xi \right)x\left(\eta \right),\hfill \\ \hfill f& =-u+v+1\hfill \end{array}$$ Le but de cet article est de montrer que pour tout point $P$ de $3$-division non nul...

On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser en un premier $p$ si toute extension modérée abélienne finie de degré $p$ admet une base normale entière. On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser s’il est de Hilbert-Speiser pour tout premier $p$. Il est bien connu que $\mathbb{Q}$ est un tel corps. Dans un article [3] de 1998, Greither, Replogle, Rubin et Srivastav ont montré que $\mathbb{Q}$ était le seul corps de Hilbert-Speiser. On donne ici une condition nécessaire et suffisante pour qu’un corps soit de Hilbert-Speiser...

Soit $c\>1$, $p$ un nombre premier et $𝒜$ une partie de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ de cardinal supérieur à $c\sqrt{p}$ telle que pour tout sous-ensemble non vide $ℬ$ de $𝒜$, on a ${\sum }_{b\in ℬ}b\ne 0$. On montre qu’il existe $s$ premier à $p$ tel que l’ensemble $s.𝒜$ est très concentré autour de l’origine et qu’il est presque entièrement composé d’éléments de partie fractionnaire positive. Plus précisément, on a $$\sum _{a\in 𝒜}∥\frac{sa}{p}∥\<1+O(p^{-1/4}lnp)\text{et}\sum _{\begin{array}{c}a\in 𝒜,\\ \{sa/p\}\ge 1/2\end{array}}∥\frac{sa}{p}∥=O(p^{-1/4}lnp).$$ On montre également que les termes d’erreurs ne peuvent être remplacés par $o\left(p^{-1/2}\right)$.