Complète réductibilité

Jean-Pierre Serre

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Nouvelles approches de la propriété (T) de Kazhdan

Alain Valette (2002-2003)

Séminaire Bourbaki

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Un groupe localement compact $G$ a la propriété (T) de Kazhdan si la $1$ -cohomologie de tout $G$ -module hilbertien est nulle. Cette propriété de rigidité de la théorie des représentations de $G$ a trouvé des applications qui vont de la théorie ergodique à la théorie des graphes. Pendant près de 30 ans, les seuls exemples connus de groupes avec la propriété (T), provenaient des groupes algébriques simples sur les corps locaux, ou de leurs réseaux. La situation a radicalement changé ces dernières...

La conjecture des soufflets

Jean-Marc Schlenker (2002-2003)

Séminaire Bourbaki

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On sait depuis les travaux de Bricard et de Connelly qu’il existe dans l’espace euclidien des polyèdres (non convexes) qui sont flexibles : on peut les déformer continûment sans changer la forme de leurs faces. La conjecture des soufflets affirme que le volume interieur de ces polyèdres est constant au cours de la déformation. Elle a été démontrée récemment par I. Sabitov, qui a pour cela utilisé des outils algébriques inattendus dans ce contexte.

Groupes aléatoires

Étienne Ghys (2002-2003)

Séminaire Bourbaki

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Quelles sont les propriétés d’un groupe de présentation finie “tiré au hasard” ? La réponse à cette question dépend bien entendu de la méthode choisie pour le tirage au sort. On peut par exemple fixer $n$ générateurs et choisir $p$ relations aléatoirement parmi les mots de longueur $L$ , puis faire tendre $L$ vers l’infini. On peut aussi choisir un graphe fini, étiqueter aléatoirement ses arêtes par des générateurs, et considérer le groupe engendré par ces générateurs, soumis aux relations lues...

Lemme fondamental et endoscopie, une approche géométrique

Jean-François Dat (2004-2005)

Séminaire Bourbaki

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Le “principe de fonctorialité”, conjecturé par Langlands à la fin des années 60, est un moyen remarquablement synthétique d’unifier et exprimer certains liens profonds entre formes automorphes, arithmétique et géométrie algébrique. Son apparente simplicité contraste fortement avec la difficulté des techniques utilisées pour l’aborder. Parmi celles-ci, la stabilisation de la formule des traces d’Arthur–Selberg bute depuis 25 ans sur une conjecture d’analyse harmonique sur des groupes...

Nombres de Betti $L^{2}$ et facteurs de type ${II}_{1}$

Alain Connes (2002-2003)

Séminaire Bourbaki

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Damien Gaboriau a montré récemment que les nombres de Betti $L^{2}$ des feuilletages mesurés à feuilles contractiles sont des invariants de la relation d’équivalence associée. Sorin Popa a utilisé ce résultat joint à des propriétés de rigidité des facteurs de type II $_{1}$ pour en déduire l’existence de facteurs de type II $_{1}$ dont le groupe fondamental est trivial.

Correspondances de Hecke, action de Galois et la conjecture d’André–Oort

Rutger Noot (2004-2005)

Séminaire Bourbaki

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Soient $M$ une variété de Shimura, $Z \subset M$ fermée et irréductible et $S \subset Z (ℂ)$ un ensemble Zariski dense de points spéciaux. Selon la conjecture d’André–Oort, $Z$ est une sous-variété de type Hodge. Par exemple, si $M$ est un espace de modules de variétés abéliennes, $S$ est un ensemble de points correspondant à des variétés de type CM et $Z$ doit paramétrer des variétés abéliennes munies de certaines classes de Hodge. En utilisant les actions de l’algèbre de Hecke et du groupe de Galois, Edixhoven et Yafaev...

Applications moment, polygones de configurations et groupes discrets de réflexions complexes dans $P U (2, 1)$

Julien Paupert (2005-2006)

Séminaire de théorie spectrale et géométrie

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Formes quadratiques et cycles algébriques

Bruno Kahn (2004-2005)

Séminaire Bourbaki

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Introduite par Witt en 1937, la théorie des formes quadratiques sur un corps joue un rôle central dans la démonstration des conjectures de Milnor par Voevodsky via les travaux pionniers de Rost qui y interviennent. Réciproquement, les méthodes de Rost et Voevodsky utilisant la théorie des motifs et les opérations de Steenrod motiviques révolutionnent la théorie des formes quadratiques et ont conduit à la démonstration de résultats de base qui semblaient auparavant inaccessibles. On expliquera...