La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer $\mathbf {p}$-adique

Pierre Colmez

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La conjecture de modularité de Serre : le cas de conducteur $1$

Jean-Pierre Wintenberger (2005-2006)

Séminaire Bourbaki

Similarity:

La conjecture dit qu’une représentation continue irréductible impaire du groupe de Galois de $Q$ dans un espace vectoriel de dimension $2$ sur un corps fini $F$ de caractéristique $p$ provient d’une forme modulaire. C. Khare vient de la prouver pour les représentations qui sont non ramifiées hors de $p$ .

Correspondances de Hecke, action de Galois et la conjecture d’André–Oort

Rutger Noot (2004-2005)

Séminaire Bourbaki

Similarity:

Soient $M$ une variété de Shimura, $Z \subset M$ fermée et irréductible et $S \subset Z (ℂ)$ un ensemble Zariski dense de points spéciaux. Selon la conjecture d’André–Oort, $Z$ est une sous-variété de type Hodge. Par exemple, si $M$ est un espace de modules de variétés abéliennes, $S$ est un ensemble de points correspondant à des variétés de type CM et $Z$ doit paramétrer des variétés abéliennes munies de certaines classes de Hodge. En utilisant les actions de l’algèbre de Hecke et du groupe de Galois, Edixhoven et Yafaev...

Genres de Todd et valeurs aux entiers des dérivées de fonctions $L$

Christophe Soulé (2005-2006)

Séminaire Bourbaki

Similarity:

La géométrie d’Arakelov étudie les fibrés vectoriels sur une variété algébrique $X$ définie sur les entiers, munis d’une métrique hermitienne lisse sur le fibré holomorphe associé (sur la variété analytique des points complexes de $X$ ). Un théorème de “Riemann-Roch arithmétique” calcule le covolume du réseau euclidien des sections globales d’un tel fibré. Dans cette formule, le genre de Todd comporte un terme complémentaire, défini par une série formelle dont les coefficients font intervenir...

Espaces analytiques $p$ -adiques au sens de Berkovich

Antoine Ducros (2005-2006)

Séminaire Bourbaki

Similarity:

Il y a une quinzaine d’années, Berkovich a proposé une nouvelle approche de la géométrie analytique sur un corps ultramétrique complet. Elle fournit, contrairement aux précédentes, des espaces localement compacts et localement connexes par arcs. Elle s’est révélée particulièrement fructueuse pour l’étude d’une grande variété de questions ; citons par exemple les cycles évanescents ou quelques analogues $p$ -adiques de théories classiques : potentiel, dessins d’enfants, intégration le long...

Irrationalité de valeurs de zêta

Stéphane Fischler (2002-2003)

Séminaire Bourbaki

Similarity:

Les valeurs aux entiers pairs (strictement positifs) de la fonction $ζ$ de Riemann sont transcendantes, car ce sont des multiples rationnels de puissances de $π$ . En revanche, on sait très peu de choses sur la nature arithmétique des $ζ (2 k + 1)$ , pour $k \geq 1$ entier. Apéry a démontré en 1978 que $ζ (3)$ est irrationnel. Rivoal a prouvé en 2000 qu’une infinité de $ζ (2 k + 1)$ sont irrationnels, mais sans pouvoir en exhiber aucun autre que $ζ (3)$ . Il existe plusieurs points de vue sur la preuve d’Apéry ; celui des séries hypergéométriques...

Points rationnels et groupes fondamentaux : applications de la cohomologie $p$ -adique

Antoine Chambert-loir (2002-2003)

Séminaire Bourbaki

Similarity:

Je présenterai des résultats de T. Ekedahl et H. Esnault sur les variétés projectives lisses sur un corps de caractéristique strictement positive, disons $p$ , dont deux points peuvent être liés par une chaîne de courbes rationnelles, par exemple faiblement unirationnelles, ou de Fano. Notamment : 1) sur un corps fini, de telles variétés ont un point rationnel, résultat qui généralise le théorème de Chevalley-Warning ; 2) sur un corps algébriquement clos, de telles variétés ont un groupe...

Almost $C_{p}$ -representation. (Presque $C_{p}$ -représentations.)

Fontaine, Jean-Marc (2003)

Documenta Mathematica

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Écarts entre nombres premiers successifs

Emmanuel Kowalski (2005-2006)

Séminaire Bourbaki

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Le théorème des nombres premiers dit que la distance entre deux nombres premiers consécutifs $p_{n} < p_{n + 1}$ est, en moyenne, de l’ordre de $ln (p_{n})$ . Récemment, D. Goldston, J. Pintz et C. Yıldırım sont parvenus à démontrer que la distance normalisée $(p_{n + 1} - p_{n}) / ln (p_{n})$ pouvait devenir arbitrairement petite, améliorant spectaculairement les résultats connus auparavant. Sous des hypothèses considérées comme raisonnables, ils parviennent à montrer que $p_{n + 1} - p_{n} < 16$ infiniment souvent. Leur méthode est une très jolie application d’idées...

Obstructions au principe de Hasse et à l’approximation faible

Emmanuel Peyre (2003-2004)

Séminaire Bourbaki

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Si un système d’équations polynomiales à coefficients entiers admet une solution dans $𝐐^{n}$ , il en admet sur tout complété $p$ -adique ou réel de $𝐐$ . La réciproque a été démontrée par Hasse pour les quadriques, mais elle est fausse en général. Une grande partie des contre-exemples connus peuvent être expliqués à l’aide de l’obstruction de Brauer-Manin, basée sur la théorie du corps de classe. Il est donc naturel de se demander si, pour certaines classes de variétés, cette obstruction est la...

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