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Méthodes de changement d’échelles en analyse complexe

François Berteloot (2006)

Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques

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Nous mettons en perspective différentes méthodes de changement d’échelles et illustrons leur pertinence en mettant sur pieds des preuves simples et élémentaires de plusieurs théorèmes biens connus en analyse ou géométrie complexe. Les situations abordées sont variées et la plupart des théorèmes démontrés sont des classiques initialement obtenus entre la fin du  et la seconde moitié du  siècle.

Irrationalité de valeurs de zêta

Stéphane Fischler (2002-2003)

Séminaire Bourbaki

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Les valeurs aux entiers pairs (strictement positifs) de la fonction ζ de Riemann sont transcendantes, car ce sont des multiples rationnels de puissances de π . En revanche, on sait très peu de choses sur la nature arithmétique des ζ ( 2 k + 1 ) , pour k ≥ 1 entier. Apéry a démontré en 1978 que ζ ( 3 ) est irrationnel. Rivoal a prouvé en 2000 qu’une infinité de ζ ( 2 k + 1 ) sont irrationnels, mais sans pouvoir en exhiber aucun autre que ζ ( 3 ) . Il existe plusieurs points de vue sur la preuve d’Apéry ; celui des séries hypergéométriques...

Ensembles de Julia de mesure positive et disques de Siegel des polynômes quadratiques

Jean-Christophe Yoccoz (2005-2006)

Séminaire Bourbaki

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Xavier Buff et Arnaud Chéritat ont montré que l’ensemble de Julia de certains polynômes quadratiques est de mesure de Lebesgue positive, répondant ainsi à une question ouverte depuis Fatou et Julia. Les polynômes en question ont un point fixe indifférent irrationnel dont le nombre de rotation doit être soigneusement déterminé. On exposera les grandes lignes de la démonstration, ainsi que d’autres résultats connexes des mêmes auteurs sur la géométrie et la taille des disques de Siegel. ...

Écarts entre nombres premiers successifs

Emmanuel Kowalski (2005-2006)

Séminaire Bourbaki

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Le théorème des nombres premiers dit que la distance entre deux nombres premiers consécutifs p n < p n + 1 est, en moyenne, de l’ordre de ln ( p n ) . Récemment, D. Goldston, J. Pintz et C. Yıldırım sont parvenus à démontrer que la distance normalisée ( p n + 1 - p n ) / ln ( p n ) pouvait devenir arbitrairement petite, améliorant spectaculairement les résultats connus auparavant. Sous des hypothèses considérées comme raisonnables, ils parviennent à montrer que p n + 1 - p n < 16 infiniment souvent. Leur méthode est une très jolie application d’idées...

Genres de Todd et valeurs aux entiers des dérivées de fonctions L

Christophe Soulé (2005-2006)

Séminaire Bourbaki

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La géométrie d’Arakelov étudie les fibrés vectoriels sur une variété algébrique X définie sur les entiers, munis d’une métrique hermitienne lisse sur le fibré holomorphe associé (sur la variété analytique des points complexes de X ). Un théorème de “Riemann-Roch arithmétique” calcule le covolume du réseau euclidien des sections globales d’un tel fibré. Dans cette formule, le genre de Todd comporte un terme complémentaire, défini par une série formelle dont les coefficients font intervenir...

Nouvelles approches de la propriété (T) de Kazhdan

Alain Valette (2002-2003)

Séminaire Bourbaki

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Un groupe localement compact G a la propriété (T) de Kazhdan si la 1 -cohomologie de tout G -module hilbertien est nulle. Cette propriété de rigidité de la théorie des représentations de G a trouvé des applications qui vont de la théorie ergodique à la théorie des graphes. Pendant près de 30 ans, les seuls exemples connus de groupes avec la propriété (T), provenaient des groupes algébriques simples sur les corps locaux, ou de leurs réseaux. La situation a radicalement changé ces dernières...

Progressions arithmétiques dans les nombres premiers

Bernard Host (2004-2005)

Séminaire Bourbaki

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Récemment, B. Green et T. Tao ont montré que : répondant ainsi à une question ancienne à la formulation particulièrement simple. La démonstration n’utilise aucune des méthodes “transcendantes” ni aucun des grands théorèmes de la théorie analytique des nombres. Elle est écrite dans un proche de celui de la théorie ergodique, en particulier de celui de la preuve par Furstenberg du théorème de Szemerédi, mais elle n’utilise aucun théorème provenant de cette théorie. La méthode peut ainsi...

D’une variable à plusieurs variables en Analyse Complexe : les fonctions plurisousharmoniques et la positivité (1942–1962)

Pierre Lelong (1995)

Revue d'histoire des mathématiques

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Henri Poincaré, à la fin du XIXe siècle, pensait déjà que le passage d’une à plusieurs variables complexes en analyse ne se réduisait pas à une simple généralisation de l’analyse à une variable. Lui-même a introduit dans ℂ n des techniques de la théorie du potentiel (fonctions sousharmoniques dans ℝ 2 n ). Cependant, l’étude systématique d’une classe invariante par les isomorphismes analytiques complexes, celle des fonctions plurisousharmoniques, débute seulement en 1942. Une autre classe invariante,...