Soit $\Omega$ un ouvert non cylindrique de l’espace $R_x^n\times R_t$, contenu dans $t\>0$ ; on donne dans cet ouvert un opérateur différentiel (ou un système d’opérateurs différentiels) de la forme $$A_x+\partial /\partial t,A_x=\Sigma (-1{)}^{\left|p\right|}{D}_x^p(a_{pq}(x,t)D_x^q),|p|,|q|\le m,$$ l’opérateur $A_x$ étant elliptique pour tout $t\>0$. On montre que sous certaines hypothèses sur la frontière de $\Omega$, il existe une fonction $u$ et une seule, solution de $$A_{x}u+\partial u/\partial t=f(x,t)\text{(donné)}$$ avec $$u(x,0)=0$$ et les...

On montre que pour tout ensemble $X$ d’un espace de Green, l’ensemble des points où $X$ est effilé peut être enfermé dans un ouvert $\omega$ tel que $f(\omega \cap X)\<ϵ$, ($f$ désignant la capacité). On applique ensuite diversement ce résultat : par exemple, pour tout $X$, et tout $ϵ\>0$, il existe une partition $\left(X_n\right)$ de $X$ telle que $\Sigma f\left({\bar{X}}_n\right)\<f\left(X\right)+ϵ$.

Le principe de Dirichlet est modernisé en utilisant la théorie indépendante du problème de Dirichlet. On se place dans les “espaces de Green” $ℰ$ à $\tau \ge 2$ dim. (comprenant en particulier les surfaces de Riemann hyperboliques) et on utilise les fonctions $\left(BLD\right)$ que Deny a introduites à partir des fonctions dites $\left(BL\right)$ et dont les classes d’équivalence forment un espace de Hilbert (où la norme est la racine carrée de l’intégrale de Dirichlet). Mais le point le plus important est dans l’expression...

D’après Keldych, pour tout domaine borné $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^n$, il existe une suite $D$ de points-frontière irréguliers de $\Omega$ tels que pour toute donnée frontière continue, son prolongement harmonique de Perron-Weiner est continu sur $\bar{\Omega }$ dès qu’il est continu en tout point de $D$. On donne ici trois démonstrations simples de ce théorème, deux valables dans un cadre fort général, la troisième établissant un lien entre le comportement des fonctions de Green et celui des prolongements harmoniques...

Étant donné $L$ un opérateur différentiel d’ordre $m$ sur un ouvert $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^N$, $K$ un compact de $\Omega$, $\gamma \>1$ et ${\gamma }^{\text{'}}=\gamma /(\gamma -1)$, nous montrons que toute solution de “$Lu+u^{\gamma }=0$ sur $\Omega \setminus K,u\ge 0$” est solution de “$Lu+u^{\gamma }=0$ sur $\Omega$” dès que la $W^{m,{\gamma }^{\text{'}}}$-capacité de $K$ est nulle. Cette condition s’avère nécessaire quand $L$ est un opérateur elliptique d’ordre 2. Dans ce cas, nous montrons aussi que $``Lu+u|u{|}^{\gamma -1}=\mu ,u{|}_{\partial \Omega }=0^{\text{'}\text{'}}$ où $\mu$ est une mesure de Radon bornée sur $\Omega$, a une solution si et seulement si $\mu$ ne charge pas les ensembles de $W^{2,{\gamma }^{\text{'}}}$-capacité nulle.

Dans la première partie, on étudie les familles $F$ localement bornées supérieurement de fonctions plurisousharmoniques dans un domaine $\Delta$ de l’espace ${\mathbf{C}}^p$ des variables complexes $X_1,...,X_p,X_k=x_k+i{y}_k$ ; on suppose que le sous-espace réel ${\mathbf{R}}^p$ coupe $\Delta$ selon un domaine $D$ de la topologie ${\mathbf{R}}^p$. On sait que l’enveloppe supérieure $w$ de $F$ a pour plus petite majorante (régularisée) semi-continue supérieurement une fonction plurisousharmonique $w^{*}$. L’étude porte sur l’ensemble $E$ où l’on a $w\<w^{*}$ : $E$ est réunion de $p$ ensemble de ${\mathbf{R}}^{2p}$-capacité...