Étude et extensions du principe de Dirichlet

Marcel Brelot

Annales de l'institut Fourier (1954)

  • Volume: 5, page 371-419
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Le principe de Dirichlet est modernisé en utilisant la théorie indépendante du problème de Dirichlet. On se place dans les “espaces de Green” à τ 2 dim. (comprenant en particulier les surfaces de Riemann hyperboliques) et on utilise les fonctions ( B L D ) que Deny a introduites à partir des fonctions dites ( B L ) et dont les classes d’équivalence forment un espace de Hilbert (où la norme est la racine carrée de l’intégrale de Dirichlet).Mais le point le plus important est dans l’expression des conditions-frontière. On utilise la notion récente de lignes de Green (trajectoires orthogonales des surfaces G p = C te ) sur lesquelles sont choisies une topologie et une mesure d g . La limite en moyenne- d g sur les surfaces G p = const . λ quand λ 0 , d’une fonction f dans est dite radiale de f . Toute fonction ( B L D ) admet une radiale. Cela posé, si l’on part d’une fonction f ( B L D ) dans E , la solution du problème de Dirichlet H f Ω n relative à un domaine Ω n tendant en croissant vers ( Ω n E ) a une limite qui est, à une constante près, la seule fonction harmonique ( B L D ) minimisant u - f  ; c’est aussi la seule fonction ( B L D ) de radiale égale à celle de f et qui soit harmonique, ou bien de norme minima.Tout cela est inspiré d’une étude très particulière par Bochner dans le cas de domaines limités par des sphères et dérive, comme la théorie classique depuis Nikodym, d’une interprétation géométrique dans un espace de Hilbert. L’extension faite au cas d’une partie de frontière libre suggère des recherches ultérieures.

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Brelot, Marcel. "Étude et extensions du principe de Dirichlet." Annales de l'institut Fourier 5 (1954): 371-419. <http://eudml.org/doc/73719>.

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References

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  1. [1] AHLFORS, Das Dirichletsche Prinzip (Math. Annalen, 120, p. 36). Zbl0030.38901MR9,238e
  2. [2] N. ARONSZAJN et K. T. SMITH, Functional spaces and functional completion (Report 10 (1954), about " Studies on eigenvalues problems ", written under Contract with the office of Naval Research, and improving the Report 7 of N. Aronszajn with the same title (1952). Kansas University, Lawrence, USA). 
  3. [3] BOCHNER, Dirichlet problem for domains bounded by spheres (Annals of Math. Studies, n°25, Princeton, 1950). Zbl0039.32302MR12,258g
  4. [4] BRELOT a) Sur le rôle du point à l'infini dans la théorie des fonctions harmoniques (Annales Ecole Norm. Sup., 61, 1944, p. 301-332). Zbl0061.22801MR7,204g
  5. [4] BRELOT b) Le problème de Dirichlet ramifié (Annales Univ. Grenoble, 22, 1946, p. 167-200). Zbl0061.22902MR8,581c
  6. [4] BRELOT c) Étude des fonctions sousharmoniques au voisinage d'un point singulier (Annales Inst. Fourier, 1, 1949, p. 121-156). Zbl0036.06901MR12,258e
  7. [4] BRELOT d) Principe et problème de Dirichlet dans les espaces de Green (C. R. Ac. Sc, 235, 1952, p. 598). Zbl0048.07804MR16,35a
  8. [4] BRELOT e) Lignes de Green et problème de Dirichlet (C. R., 235, 1952 p. 1595). Zbl0047.34402MR16,35b
  9. [4] BRELOT f) La théorie moderne du potentiel (Annales Inst. Fourier, 4, année 52, paru en 54, p. 113-140). Zbl0055.08903MR15,527a
  10. [4] BRELOT g) Majorantes harmoniques et principe du maximum (Archiv. der Math., 5, 1954, p. 429-440). Zbl0056.32504MR16,356k
  11. [5] BRELOT et CHOQUET, Espaces et lignes de Green (Annales Institut Fourier, 3, année 1951, paru fin 52, p. 119-263). Zbl0046.32701MR16,34e
  12. [6] CALKIN et MORREY, Functions of several variables and absolute continuity (Part. I by Calkin, part II by Morrey, Duke Math. J., 6, 1940, p. 170-215). Zbl0026.39202MR1,208eJFM66.1224.03
  13. [7] COURANT, Dirichlet's principle, conformal mapping and minimal surfaces (Pure and applied math., 3, Interscience publishers, New York 1950). Zbl0040.34603MR12,90a
  14. [8] DENY, Les potentiels d'énergie finie (Acta math., 82, 1950 p. 107-183). Zbl0034.36201MR12,98e
  15. [9] DENY et LIONS, Les espaces du type de Beppo Levi (Annales Inst. Fourier, 5, années 53-54 ce vol. p. 305-370). Zbl0065.09903MR17,646a
  16. [10] NIKODYM, a) Sur une classe de fonctions considérées dans l'étude du problème de Dirichlet (Fundamenta Math., 21, 1933, p. 129-150). Zbl0008.15903JFM59.0290.01
  17. [10] NIKODYM, b) Sur un théorème de M. Zaremba concernant les fonctions harmoniques (J. de math., 12, 1933, p. 95-108). Zbl0006.16601JFM59.0483.03
  18. [10] NIKODYM, c) Sur le principe du minimum (Mathematica, 9, 1935 p. 110-128). Zbl0013.30506JFM61.1258.01
  19. [11] SCHAUDER, Potential theoretische Untersuchungen (Math. Zeitsch., 33, 1931, p. 602-640). Zbl0001.33602JFM57.0572.01
  20. [12] B. von Sz. NAGY, Spektraldarstellungen linearer Transformationen des Hilbertschen Raumes (Ergebn. der Math., 5, 1942). Zbl0027.22701JFM68.0241.01
  21. [13] ZAREMBA, Sur un problème toujours possible comprenant à titre de cas particuliers le problème de Dirichlet et celui de Neumann (J. math., 6, 1927, p. 127-163). Zbl53.0459.02JFM53.0459.02

Citations in EuDML Documents

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  1. Dimitrios Betsakos, Stamatis Pouliasis, Equality cases for condenser capacity inequalities under symmetrization
  2. Jacques-Louis Lions, Sur les problèmes mixtes pour certains systèmes paraboliques dans les ouverts non cylindriques
  3. Michel Godefroid, Une propriété des fonctions B.L.D. dans un espace de Green
  4. Zhen-Qing Chen, Masatoshi Fukushima, On unique extension of time changed reflecting brownian motions
  5. Enrico Magenes, Su alcune recenti impostazioni dei problemi al contorno, in particolare misti, per le equazioni lineari ellittiche del secondo ordine
  6. Jacques Deny, Jacques-Louis Lions, Les espaces du type de Beppo Levi
  7. J. L. Doob, Boundary properties of functions with finite Dirichlet integrals
  8. Jacques-Louis Lions, Quelques résultats d'existence dans des équations aux dérivées partielles non linéaires
  9. Jacques-Louis Lions, Espaces de Beppo-Levi et quelques applications
  10. J.-B. Bost, Potential theory and Lefschetz theorems for arithmetic surfaces

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