Soit $P$ une partie discrète et multiplicativement libre de la demi-droite ouverte $]1,\infty [$, et $N$ le semi-groupe unitaire engendré par $P$. Les éléments de $P$ s’appellent nombres premiers généralisés et ceux de $N$ entiers généralisés. Les fonctions de décompte correspondantes sont désignées $P\left(x\right)$ et $N(x$). Le problème de Beurling consiste à donner des conditions sur $N\left(x\right)$ qui entrainent le “ théorème des nombres premiers ” $P\left(x\right)\sim x/logx(x\to \infty )$. En posant $N\left(x\right)=Dx+xϵ\left(x\right)$, la condition de Beurling est $ϵ\left(x\right)=O\left({(logx)}^{-a}\right)$ avec $a\>\frac{3}{2}$, et il y a un contre-exemple avec...

Dans le chapitre I on indique la croissance de $\omega$ et de la fonction convexe $C$ pour que de $log\left|F\right(z\left)\right|\le \pi \left|y\right|-\omega \left(\right|y\left|\right)$ $(y=\mathrm{Im}z)$, $log\left|F\right(n\left)\right|\le -C\left(\right|n\left|\right)$ ($n$ entier quelconque, $F$ fonction entière) résulte $log\left|F\right(z\left)\right|\le \pi \left|y\right|-C\left(a\right|z\left|\right)$. Dans le chapitre II on indique des propriétés fonctionnelles qui sont nécessairement valables sur $[-\pi ,\pi ]$ si on les suppose sur une partie de cet intervalle, la série de Fourier correspondante étant “assez” lacunaire. Le chapitre III montre l’analogie entre les méthodes employées dans II et celles utilisées dans les...

Étant donné $L$ un opérateur différentiel d’ordre $m$ sur un ouvert $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^N$, $K$ un compact de $\Omega$, $\gamma \>1$ et ${\gamma }^{\text{'}}=\gamma /(\gamma -1)$, nous montrons que toute solution de “$Lu+u^{\gamma }=0$ sur $\Omega \setminus K,u\ge 0$” est solution de “$Lu+u^{\gamma }=0$ sur $\Omega$” dès que la $W^{m,{\gamma }^{\text{'}}}$-capacité de $K$ est nulle. Cette condition s’avère nécessaire quand $L$ est un opérateur elliptique d’ordre 2. Dans ce cas, nous montrons aussi que $``Lu+u|u{|}^{\gamma -1}=\mu ,u{|}_{\partial \Omega }=0^{\text{'}\text{'}}$ où $\mu$ est une mesure de Radon bornée sur $\Omega$, a une solution si et seulement si $\mu$ ne charge pas les ensembles de $W^{2,{\gamma }^{\text{'}}}$-capacité nulle.

Soient $E$ un e.v.t., $F$ un sous-espace de $E$, $f$ une fonction analytique de $\mathbf{C}$ dans $E$, telle que $F$ contienne l’image de ${\mathbf{C}}^{*}$. On cherche les valeurs que $f$ peut prendre en zéro puis on fait la liaison entre ce problème et un problème de prolongement analytique.

On considère un opérateur différentiel linéaire $P(\lambda ,D_x)$ sur ${\mathbf{R}}^n$ dont les coefficients sont constants par rapport au point $x$ de ${\mathbf{R}}^n$ mais sont des fonctions complexes $C^{\infty }$ du point $\lambda$ d’une variété $\Lambda$ qui est $C^{\infty }$. On suppose que ces coefficients ne s’annulent pas simultanément, pour aucune valeur de $\lambda \in \Lambda$. Alors (“Théorème des supports”) si $\nu (x,\lambda )$ est une distribution sur ${\mathbf{R}}^n\times \Lambda$ dont le support se projette sur ${\mathbf{R}}^n$ suivant un compact, si $C$ est un compact convexe de ${\mathbf{R}}^n$ et $F$ un fermé de $\Lambda$, $$\mathrm{support}P(\lambda ,D_x)\nu (x,\lambda )\subset C\times F\Rightarrow \mathrm{support}\nu (x,\lambda )\subset C\times F.$$ Ce résultat...

Dans la première partie, on étudie les familles $F$ localement bornées supérieurement de fonctions plurisousharmoniques dans un domaine $\Delta$ de l’espace ${\mathbf{C}}^p$ des variables complexes $X_1,...,X_p,X_k=x_k+i{y}_k$ ; on suppose que le sous-espace réel ${\mathbf{R}}^p$ coupe $\Delta$ selon un domaine $D$ de la topologie ${\mathbf{R}}^p$. On sait que l’enveloppe supérieure $w$ de $F$ a pour plus petite majorante (régularisée) semi-continue supérieurement une fonction plurisousharmonique $w^{*}$. L’étude porte sur l’ensemble $E$ où l’on a $w\<w^{*}$ : $E$ est réunion de $p$ ensemble de ${\mathbf{R}}^{2p}$-capacité...