$0.1${ll (uij+aij(x,u, u))=K(x) f(x,u, u) in Rn u| = . dove la curvatura $K$ soddisfa $K>0$ in $\mathrm{\Omega }$, $K=0$ $dK\ne 0$ su $\partial \mathrm{\Omega }$, ed $f$ è strettamente positivo. Proviamo che se i dati $\mathrm{\Omega }$, $a_{ij}$, $K$, $f$, $\phi$ sono in una classe di Gevrey, ogni soluzione $C^3$ ($C^2$ se $n=2$) del problema $\left(0.1\right)$ sta nella stessa classe di Grevey su $\overline{\mathrm{\Omega }}$.

$D$ étant un ouvert borné de ${\mathbf{R}}^n$ donné, on considère l’ensemble $VL(r,k)$ des ouverts de ${\mathbf{R}}^n$ inclus dans $D$, localement uniformément image de demi-espaces par des homéomorphismes bilipschitiziens. Les cartes locales sont définies sur des boules de rayon $r$, elles sont bilipschitziennes de constante $k$. On montre que cette famille est plus générale que celle des ouverts uniformément lipschitziens. On montre ensuite en utilisant une méthode de réflexions que pour...

$s\left(n\right)$ désigne la somme des chiffres de l’entier $n$ en base $q$ et ${\sigma }_{\alpha }\left(n\right)$ la somme des chiffres de $n$ associée au développement en fraction continue de $\alpha$. La suite $\left(xs\right(n)+y{\alpha }_{\alpha }(n){)}_{n\in \mathbf{N}}$ est équirépartie modulo 1 si et seulement si $x$ ou $y$ est irrationnel.

Let $J_k\left(n\right):=n^k{\prod }_{p\mid n}(1-p^{-k})$ (the $k$-th Jordan totient function, and for $k=1$ the Euler phi function), and consider the associated error term $$E_k\left(x\right):=\sum _{n\le x}{J}_k\left(n\right)-\frac{x^{k+1}}{(k+1)\zeta (k+1)}.$$ When $k\ge 2$, both $i_k:=E_k\left(x\right)x^{-k}$ and $s_k:=lim\; sup{E}_k\left(x\right)x^{-k}$ are finite, and we are interested in estimating these quantities. We may consider instead $$Ik:=\underset{n\in \mathbb{N},n\to \infty }{lim\; inf}$$ d 1 (d)dk ( 12 - { nd} ), since from [AS] $i_k=I_k-{\left(\zeta (k+1)\right)}^{-}1$ and from the present paper $s_k=-i_k$. We show that $I_k$ belongs to an interval of the form $$\left(\frac{1}{2\zeta \left(k\right)}-\frac{1}{(k-1)N^{k-1}},\frac{1}{2\zeta \left(k\right)}\right),$$ where $N=N\left(k\right)\to \infty$ as $k\to \infty$. From a more practical point of view we describe...

La sous-algèbre fermée des fonctions radiales de $\mathbf{F}{l}^1(R^n)$ est une algèbre de fonctions sur ${\mathbf{R}}^{+}$ qui coïncide, sur tout compact de $]0,+\infty [$, avec l’algèbre transformée de Fourier des fonctions sur $\mathbf{R}$ sommables avec le poids $(1+|x|{)}^{\frac{n-1}{2}}$.

Soit $G$ un groupe commutatif localement compact. On se propose de déterminer les fonctions $f$, définies sur le disque-unité ouvert du plan complexe $[z:|z|\<1]$, à valeurs complexes, telles que la fonction composée $f\left(\phi \right)$ soit définie-positive chaque fois que $\phi$ est une fonction définie-positive sur $G$ avec $\left|\phi \right|\<1$ partout. On prouve que si $G$ contient des éléments dont les ordres sont aussi grands qu’on veut, alors il faut et il suffit que $f$ soit représentée par une série convergente pour $\left|z\right|\<1$ ...