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Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel

Rose-Marie Hervé (1962)

Annales de l'institut Fourier

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Ces recherches prolongent l’axiomatique des fonctions harmoniques de M. Brelot. Dans un espace Ω localement compact, connexe et localement connexe, qu’on supposera le plus souvent à base dénombrable, les fonctions harmoniques satisfont à trois axiomes : le 1er est un axiome de faisceau ; le 2e pose l’existence d’une base de la topologie formée de domaines réguliers, c’est-à-dire pour lesquels le problème de Dirichlet admet une solution unique, croissant avec la donnée ; le...

Quelques propriétés des sursolutions et sursolutions locales d’une équation uniformément elliptique de la forme L u = - ∑ i ∂ ∂ x i ( ∑ j a i j ∂ u ∂ x j ) = 0

Rose-Marie Hervé (1966)

Annales de l'institut Fourier

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L’objet de cet article est l’étude de la classe des fonctions surharmoniques associées à l’opérateur L et appartenant à W 1 , 2 (resp. W loc 1 , 2 ) : on commence par montrer qu’elles coïncident avec les sursolutions (resp. sursolutions locales) ; puis on étudie les propriétés de stabilité de cette classe, en particulier par balayage sur un ensemble quelconque ; enfin on caractérise les potentiels ϵ 0 1 , 2 , qui sont les potentiels d’énergie finie.

Les fonctions surharmoniques associées à un opérateur elliptique du second ordre à coefficients discontinus

Rose-Marie Hervé, Michel Hervé (1969)

Annales de l'institut Fourier

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On étend aux solutions et sursolutions locales d’une équation elliptique de la forme - ∑ i ∂ u ∂ x i + ∑ j a i j ∂ u ∂ x i + d j u + ∑ i b i ∂ u ∂ x i + c u = 0 les propriétés démontrées dans le cas d i = b i = c = 0  : les solutions locales forment un système de fonctions harmoniques satisfaisant à l’axiomatique de M. Brelot, les fonctions surharmoniques coïncidant p.p. avec les sursolutions locales ; un principe du maximum pour les fonctions sous-harmoniques majorées par une fonction ϵ W 0 1 , 2  ; la stabilité par balayage sur un ensemble quelconque des fonctions...

Axiomatique des fonctions biharmoniques. II

Emmanuel P. Smyrnelis (1976)

Annales de l'institut Fourier

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Dans un espace biharmonique, on définit un balayage de couples de mesures et, en particulier, on retrouve les trois mesures du problème de Riquier. Une de ces mesures n’étant pas harmonique, son étude présente un certain intérêt. On établit, dans ce cadre, des inégalités de type Harnack et on introduit les fonctions hyperharmoniques d’ordre 2. Le problème de la construction d’un espace biharmonique à partir de deux espaces harmoniques est aussi étudié. Enfin, on donne des applications...