Soient $\Omega$ un domaine borné de $R^n$ et $W_0^{1,2}\left(\Omega \right)$ l’adhérence de $𝒟\left(\Omega \right)$ dans l’espace $W^{1,2}\left(\Omega \right)$ des fonctions qui $\in L^2\left(\Omega \right)$ ainsi que leurs dérivées partielles premières. On démontre d’abord le principe du maximum suivant : une sous-solution locale dans $\Omega$, majorée p.p. au voisinage de $\partial \Omega$ par une fonction $\in W_0^{1,2}\left(\Omega \right)$ est $\le 0$ p.p. dans $\Omega$. Puis on vérifie que les solutions locales de $Lu=0$ forment un système de fonctions harmoniques satisfaisant aux axiomes de M. Brelot, ce qui permet de parler du problème de Dirichlet dans un...

L’auteur développe et complète une note sommaire sur l’approximation par des fonctions harmoniques (Bull. Soc. Math. de France, 73 (1945)). Considérons dans l’espace euclidien ${\mathbf{R}}^m$ $(m\ge 2)$ le point courant $x$ à distance $\left|x\right|$ de l’origine, un compact $E$ et la fonction harmonique fondamentale $h\left(x\right)$ valant $-log\left|x\right|$ $(m=2)$ ou $|x{|}^{2-m}$ $(m\>2)$. Si $H_n$ est tout polynôme harmonique homogène de degré $n$, on pose $${\Phi }_n^a\left(x\right)=\frac{H_n(x-a)}{|x-a{|}^{2n+m-2}}(n\ge 1),{\Phi }_0^a\left(x\right)=H_{0}h(x-a)(H_0=C^{\mathrm{te}})$$ et ${\Phi }_n^{\infty }\left(x\right)=H_n\left(x\right)$ $(n\ge 0)$. L’auteur caractérise de diverses...

On montre que pour tout ensemble $X$ d’un espace de Green, l’ensemble des points où $X$ est effilé peut être enfermé dans un ouvert $\omega$ tel que $f(\omega \cap X)\<ϵ$, ($f$ désignant la capacité). On applique ensuite diversement ce résultat : par exemple, pour tout $X$, et tout $ϵ\>0$, il existe une partition $\left(X_n\right)$ de $X$ telle que $\Sigma f\left({\bar{X}}_n\right)\<f\left(X\right)+ϵ$.

Soit $D$ un laplacien généralisé, c’est-à-dire le générateur infinitésimal d’un semi-groupe sous-markovien d’opérateurs de convolution. On veut étudier les solutions élémentaires $E$ de $D^{*}E=-\delta$. Nous ne considérons que les $D$ définis sur le groupe $R$, la droite réelle. S’il existe une solution élémentaire positive, alors il en existe une minimale $E$. Celle-ci s’exprime comme $E={lim}_{\lambda \to 0}{E}_{\lambda }$ où $E_{\lambda }=(\lambda \delta -D{)}^{-1}$. Il s’agit ici du cas transient. Utilisant les...

$u$ étant une fonction sous-harmonique au voisinage de l’infini, une limitation de la croissance des moyennes de $u^{+}$ sur des sphères concentriques entraîne une limitation analogue de la fonction $u^{+}$ elle-même. Ce fait se démontre facilement par le principe de la majorante harmonique en utilisant l’intégrale de Poisson.

Étant donné $L$ un opérateur différentiel d’ordre $m$ sur un ouvert $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^N$, $K$ un compact de $\Omega$, $\gamma \>1$ et ${\gamma }^{\text{'}}=\gamma /(\gamma -1)$, nous montrons que toute solution de “$Lu+u^{\gamma }=0$ sur $\Omega \setminus K,u\ge 0$” est solution de “$Lu+u^{\gamma }=0$ sur $\Omega$” dès que la $W^{m,{\gamma }^{\text{'}}}$-capacité de $K$ est nulle. Cette condition s’avère nécessaire quand $L$ est un opérateur elliptique d’ordre 2. Dans ce cas, nous montrons aussi que $``Lu+u|u{|}^{\gamma -1}=\mu ,u{|}_{\partial \Omega }=0^{\text{'}\text{'}}$ où $\mu$ est une mesure de Radon bornée sur $\Omega$, a une solution si et seulement si $\mu$ ne charge pas les ensembles de $W^{2,{\gamma }^{\text{'}}}$-capacité nulle.