Soit $D$ un laplacien généralisé, c’est-à-dire le générateur infinitésimal d’un semi-groupe sous-markovien d’opérateurs de convolution. On veut étudier les solutions élémentaires $E$ de $D^{*}E=-\delta$. Nous ne considérons que les $D$ définis sur le groupe $R$, la droite réelle. S’il existe une solution élémentaire positive, alors il en existe une minimale $E$. Celle-ci s’exprime comme $E={lim}_{\lambda \to 0}{E}_{\lambda }$ où $E_{\lambda }=(\lambda \delta -D{)}^{-1}$. Il s’agit ici du cas transient. Utilisant les...

Soit $f$ une transformée de Stieltjes. Notant $H_f$ un prolongement de la fonction $f\left(z^{-1}\right)$ à $(\mathbf{C}\setminus {\mathbf{R}}^{*}\cup \{\infty \left\}\right)$, on définit, pour tout espace de Banach $X$ et pour tout opérateur $V$ sur $X$ qui soit de domaine dense, fermé, d’ensemble résolvant contenant ${\mathbf{R}}^{*}$ et qui vérifie ${sup}_{\lambda \>0}\parallel (I+\lambda V{)}^{-1}\parallel \<\infty$, un opérateur $H_f\left(V\right)$ qui est un opérateur sur $X$ de même nature que $V$. On montre que l’on a ${\sigma }^e[H_f\left(V\right)]=H_f[{\sigma }^e\left(V\right)]$ (où ${\sigma }^e$ désigne le spectre étendu). En outre, l’opération $H_f$ a d’excellentes propriétés de stabilité. En particulier, si $f\ne 0$ et si $V$ est un potentiel abstrait, $H_f\left(V\right)$ est...

On considère l’espace $E=L^2({\Psi }_2.{\Psi }_1^{-1}dx)$ où ${\Psi }_2$ et ${\Psi }_1$ sont deux fonctions définies-négatives, réelles et continues sur ${\mathbf{R}}^n$. On étudie la possibilité d’approcher, au sens de la norme de $E$, tout élément $\phi$ de $E$ par des combinaisons linéaires d’éléments de $E$ qui sont transformés de Fourier de mesures positives de support inclus dans le spectre de $\phi$. Des méthodes de théorie du potentiel permettent de donner une réponse positive (sous certaines hypothèses additionnelles). On obtient ainsi des généralisations, au...

Soit $T$ un opérateur linéaire positif sur $𝒞\left(K\right)$ (où $K$ est un compact). On montre que si inf. $\{T_1^n;n\>0\}\<1$, la suite des $(T^n$) converge uniformément vers 0, et que si sup. $\{T_1^n;n\>0\}\>1$ la suite des $\left(T^n\right)$ converge uniformément vers $+\infty$. Puis on applique ces deux énoncés à l’étude des suites : $\left[{\sum }_0^{n-1}{T}^{i}f\right]/n$ et $(T^{n}f{)}^{1/n}$ ; on donne en particulier plusieurs critères de convergence uniforme de ces suites.

L’objet de la note est l’extension du principe de la borne uniforme pour le cas des suites d’opérations bornées et homogènes, mais non sous-additives. Dans ce but l’auteur introduit la notion de suite asymptotiquement sous-additive : la suite d’opérations $u_n\left(x\right)$ définies dans un espace complet $E$ est asymptotiquement sous-additive, si elle satisfait aux conditions $$\parallel u_n(x+y)\parallel \le \parallel u_n\left(x\right)\parallel +O\left(\right|u_n|·\parallel y\parallel )$$ uniformément pour $x,y\in E$ et $$\underset{\parallel y\parallel \le 1}{inf}[\parallel u_n(x+y)\parallel +\parallel u_n\left(x\right)\parallel -\parallel u_n\left(y\right)\parallel ]\ge O(|u_n\left|\right)$$ pour chaque $x\in E$, mais non nécessairement uniformément...

Nous montrons que $h^2(𝔻,L^1\left(𝕋\right))$ admet une norme équivalente $LUR,$ ce qui répond négativement à une question de Dowling, Hu et Smith. Puis nous obtenons une propriété de stabilité des opérateurs de Radon-Nikodym analytique. Motivés par l’identification entre $h^p(𝔻,X)$ et $V{B}^p(𝕋,X)$ où $X$ est un espace de Banach, pour un groupe abélien compact métrisable $G$, son dual $\Gamma$, et ${\Lambda }_2\subset {\Lambda }_1\subset \Gamma$, nous prouvons que, si l’espace $V{B}_{{\Lambda }_1}^p(G,X)/V{B}_{{\Lambda }_2}^p(G,X)$ a la propriété $Kadec-Klee-{\beta }^{\prime }-\omega$, alors il coincïde avec $L_{{\Lambda }_1}^p(G,X)/L_{{\Lambda }_2}^p(G,X),$ $1\le p\<\infty .$ Enfin, nous montrons que si $L_{{\Lambda }_2^c}^1\left(G\right)/L_{{\Lambda }_1^c}^1\left(G\right)$ a la propriété $I-({\Lambda }_1\setminus {\Lambda }_2)-RNP,$ alors...