$\Lambda$ étant une suite de nombres complexes ${\lambda }_j$ $(0\<|{\lambda }_1|\le |{\lambda }_2|...)$, on désigne par ${ℰ}_I\left(\Lambda \right)$ (resp. ${ℰ}_K\left(\Lambda \right))$ l’ensemble des fonctions $f\left(x\right)$ (resp. $f\left(z\right)$) définies sur un segment $I$ (resp. sur un compact $K$ du plan complexe) et uniformément approchables sur $I$ (resp. sur $K$) par des combinaisons linéaires ${\sum }_1^N{a}_{j,N}{e}^{i{\lambda }_{j}x}\left(\mathrm{resp}.{\sum }_4^N{a}_{j,N}{e}^{i{\lambda }_{j}z}\right)$. On désigne par $ℰ\left(\Lambda \right)$ l’ensemble des fonctions continues) sur la droite dont les restrictions à tout segment $I$ appartiennent à ${ℰ}_I\left(\Lambda \right)$, par ${ℰ}_{\Omega }\left(P\right)$ l’ensemble des fonctions (holomorphes) sur un ouvert $\Omega$ du plan complexe...

Soit $P$ une partie discrète et multiplicativement libre de la demi-droite ouverte $]1,\infty [$, et $N$ le semi-groupe unitaire engendré par $P$. Les éléments de $P$ s’appellent nombres premiers généralisés et ceux de $N$ entiers généralisés. Les fonctions de décompte correspondantes sont désignées $P\left(x\right)$ et $N(x$). Le problème de Beurling consiste à donner des conditions sur $N\left(x\right)$ qui entrainent le “ théorème des nombres premiers ” $P\left(x\right)\sim x/logx(x\to \infty )$. En posant $N\left(x\right)=Dx+xϵ\left(x\right)$, la condition de Beurling est $ϵ\left(x\right)=O\left({(logx)}^{-a}\right)$ avec $a\>\frac{3}{2}$, et il y a un contre-exemple avec...

On étudie sommairement la distribution des valeurs de $L^{\text{'}}(1,\chi )$ ($\chi$ : caractère de Dirichlet primitif réel) et on constate qu’on a en général $L^{\text{'}}(1,\chi )\<{\pi }^2/6$; on démontre par ailleurs que $L(1,\chi )\>c\left(ϵ\right)/logk$ ($k$ : conducteur de $\chi$; $c\left(ϵ\right)$: constante positive effectivement calculable.

Soit $p_k$ le $k$-ième nombre premier. Une fonction arithmétique complètement additive est définie sur ${\mathbb{N}}^{*}$ par la donnée des $f\left(p_k\right)$ et la formule $f\left(n\right)={\sum }_{k\ge 1}f(p_k)v_{p_k}\left(n\right)$ $(n\ge 1)$, où $v_p$ désigne la valuation $p$-adique. Nous étudions une classe $ℰ$ de fonctions complètement additives caractérisées par une équation fonctionnelle approchée liant $f\left(p_k\right)$ à $f\left(k\right)$. Le prototype des éléments de $ℰ$, dont la fonction logarithme est un élément maximal, est la fonction de Gutman–Ivić–Matula, définie par la relation $$f\left(p_k\right)=1+f\left(k\right)(k\ge 1).$$ ...

Étant donné une fonction $w\left(x\right)\ge 0$ paire et continue, on se demande si une fonction entière $\phi \left(z\right)\not\equiv 0$ de type exponentiel $a$ existe telle que $\phi \left(x\right)\exp w\left(x\right)$ soit borné pour $-\infty \<x\<\infty$. L’existence d’une telle $\phi$ est équivalente à celle d’une fonction croissante $\rho \left(t\right)$ sur $[0,\infty )$ telle que $\rho \left(t\right)=\theta \left(t\right)$, que $\frac{\rho \left(t\right)}{t}\to \frac{a}{\pi }$ pour $t\to \infty$, et que $w\left(x\right)+{\infty }_0^{\infty }log|1-\frac{x^2}{t^2}|d\rho \left(t\right)\le C^{\mathrm{te}}$, $x\in \mathbf{R}$, pourvu que $w\left(x\right)$ satisfasse à une condition de régularité assez peu restrictive, décrite au début de l’article. On démontre que l’existence d’une telle $\rho$ est à son tour équivalente à ce que la fonction $\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\left|\Im z\right|}{|z-t{|}^2}w\left(t\right)dt-a\left|\Im z\right|$ admette Ce résultat...

On étend au cas de $n$ variables la solution d’un problème de T. Carleman, et on l’applique à la définition de classes quasi-analytiques de fonctions dérivables $f(x_1,...,x_n).$ Parmi les classes définies sur un ouvert par les conditions $|D^{\left(\alpha \right)}f\le M_{\left(\alpha \right)},$ $\left(\alpha \right)$ indice de dérivation multiple, on caractérise celles, $C\left[M_{\left(\alpha \right)}\right]$, qui ne peuvent contenir de fonction $f\not\equiv 0$, à support compact. Extension aux classes définies à partir d’une suite $P\left[\frac{\partial }{\partial x_k}\right]\left(f\right)$ d’opérateurs polynômes différentiels, homogènes, à coefficients constants. ...