Intégrales de résolvantes et calcul symbolique

Francis Hirsch

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Une généralisation du problème de Cauchy

Einar Hille (1952)

Annales de l'institut Fourier

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L’objet de la note est l’étude d’un problème de Cauchy pour l’équation fonctionnelle : $y^{(n)} (t) = U^{n} [y (t)]$ , $t < 0$ , avec $y^{(k)} (t) \to y_{k}$ , $k = 0, 1, ..., n - 1$ , quand $l \to 0$ . On suppose que la solution et les données ${y_{k}}$ sont des éléments d’un espace $(B)$ , $U$ est un opérateur linéaire de domaine $D [U] \subset X$ , les dérivées et les limites sont prises au sens fort. Une solution est du type normal si $t^{- 1} \log ∥ y^{(n - 1)} (t) ∥$ reste borné quant $t \to \infty$ . On montre que le problème admet au plus une solution du type normal pour n’importe quelles données dans $X$ , si $U$ est clos et ses valeurs propres...

Déduction simple de l’expression $Γ (x)$ de Gauss ; d’après le docteur Zehfuss

(1859)

Nouvelles annales de mathématiques : journal des candidats aux écoles polytechnique et normale

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Existence de noyaux sur $R \times R$ indéfiniment différentiables dans l’ouvert ${(x, y) \in R \times R, x \neq y}$ , semi-régulier en $x$ non semi-régulier en $y$

Henri Morel (1960)

Annales de l'institut Fourier

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Dans cet article, l’auteur résoud un problème qui s’est posé en théorie de l’hypoellipticité : existe-t-il des noyaux ayant les propriétés énoncées dans le titre ? La réponse est affirmative : on construit une telle distribution et on vérifie successivement les trois points. On peut se représenter cette distribution, en langage imagé, comme une fonction définie dans $R^{2}$ dont la surface représentative serait constituée par une suite de petites cloches indéfiniment différentiables, à supports...

Inégalités de résolvante pour l’opérateur de Schrödinger avec potentiel multipolaire critique

Thomas Duyckaerts (2006)

Bulletin de la Société Mathématique de France

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On étudie un opérateur de la forme $- Δ + V$ sur $ℝ^{d}$ , où $V$ est un potentiel admettant plusieurs pôles en $a / r^{2}$ . Plus précisément, on démontre l’estimation de résolvante tronquée à hautes fréquences, classique dans les cas non-captifs, et qui implique l’effet régularisant standard pour l’équation de Schrödinger correspondante. La preuve est basée sur l’introduction d’une mesure de défaut micro-locale semi-classique. On démontre également, dans le même contexte, des inégalités de Strichartz pour l’équation...

Marche de Markov sur le semi-groupe des contractions de $ℝ^{d}$

Marc Peigne (1988)

Publications mathématiques et informatique de Rennes

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Les théorèmes de renouvellement

Carl S. Herz (1965)

Annales de l'institut Fourier

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Soit $D$ un laplacien généralisé, c’est-à-dire le générateur infinitésimal d’un semi-groupe sous-markovien d’opérateurs de convolution. On veut étudier les solutions élémentaires $E$ de $D^{*} E = - δ$ . Nous ne considérons que les $D$ définis sur le groupe $R$ , la droite réelle. S’il existe une solution élémentaire positive, alors il en existe une minimale $E$ . Celle-ci s’exprime comme $E = {lim}_{λ \to 0} E_{λ}$ où $E_{λ} = (λ δ - D)^{- 1}$ . Il s’agit ici du cas transient. Utilisant les...

Singularités éliminables pour des équations semi-linéaires

Pierre Baras, Michel Pierre (1984)

Annales de l'institut Fourier

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Étant donné $L$ un opérateur différentiel d’ordre $m$ sur un ouvert $Ω$ de $R^{N}$ , $K$ un compact de $Ω$ , $γ > 1$ et $γ^{'} = γ / (γ - 1)$ , nous montrons que toute solution de “ $L u + u^{γ} = 0$ sur $Ω ∖ K, u \geq 0$ ” est solution de “ $L u + u^{γ} = 0$ sur $Ω$ ” dès que la $W^{m, γ^{'}}$ -capacité de $K$ est nulle. Cette condition s’avère nécessaire quand $L$ est un opérateur elliptique d’ordre 2. Dans ce cas, nous montrons aussi que $` ` L u + u | u |^{γ - 1} = μ, u |_{\partial Ω} = 0^{''}$ où $μ$ est une mesure de Radon bornée sur $Ω$ , a une solution si et seulement si $μ$ ne charge pas les ensembles de $W^{2, γ^{'}}$ -capacité nulle.

Résonances près d’une énergie critique

Jean-François Bony (2001-2002)

Séminaire Équations aux dérivées partielles

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Dans cet exposé, on décrit un travail effectué sous la direction de J. Sjöstrand. On prouve des majorations et des minorations du nombre de résonances d’un opérateur de Schrödinger semi-classique $P = - h^{2} Δ + V (x)$ dans des petits disques centrés en $E_{0} > 0$ , une valeur critique de $p (x, ξ) = ξ^{2} + V (x)$ .

Une propriété topologique de l'ensemble des points fixes d'une contraction multivoque à valeurs convexes

Biagio Ricceri (1987)

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti

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In this Note we first establish a result on the structure of the set of fixed points of a multi-valued contraction with convex values. As a consequence of this result, we then obtain the following theorem: Let $(U,\|\cdot\|_{U})$ , $(V,\|\cdot\|_{V})$ be two real Banach spaces and let $\Phi$ be a continuous linear operator from $U$ onto $V$ . Put: $\alpha=\sup\,\{\,\inf\,\{\,\|u\|_{U}:u\in\Phi^{-1}(v)\}:v\in V,\,\|v\|_{V}\leq 1\}$ . Then, for every $v\in V$ and every lipschitzian operator $\Psi:U\rightarrow V$ , with Lipschitz constant $L$ such that $\alpha L<1$ , the set $\{u\in U:\Phi(u)+\Psi(u)=v\}$ is non-empty and arc wise connected.