Sur la fonction de Green pour un domaine fin

Bent Fuglede

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Systèmes totaux de fonctions harmoniques

Jacques Deny (1949)

Annales de l'institut Fourier

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L’auteur développe et complète une note sommaire sur l’approximation par des fonctions harmoniques (Bull. Soc. Math. de France, 73 (1945)). Considérons dans l’espace euclidien $R^{m}$ $(m \geq 2)$ le point courant $x$ à distance $| x |$ de l’origine, un compact $E$ et la fonction harmonique fondamentale $h (x)$ valant $- log | x |$ $(m = 2)$ ou $| x |^{2 - m}$ $(m > 2)$ . Si $H_{n}$ est tout polynôme harmonique homogène de degré $n$ , on pose $Φ_{n}^{a} (x) = \frac{H_{n} (x - a)}{| x - a |^{2 n + m - 2}} (n \geq 1), Φ_{0}^{a} (x) = H_{0} h (x - a) (H_{0} = C^{te})$ et $Φ_{n}^{\infty} (x) = H_{n} (x)$ $(n \geq 0)$ . L’auteur caractérise de diverses...

Compléments à la théorie de J. Deny

Marcel Brelot (1949)

Annales de l'institut Fourier

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Quelques autres démonstrations d’un point essentiel de la théorie précédente, mais surtout extension systématique de la théorie au cas de l’espace rendu compact par adjonction d’un point à l’infini $ℛ_{m}$ . On raisonne sur un compact $E$ qui peut alors contenir $ℛ_{m}$ et on utilise des potentiels $- h_{a}$ où $a$ joue le rôle de $ℛ_{m}$ pour le potentiel ordinaire, ce qui permet une étude générale plus symétrique. D’autres compléments sont donnés montrant dans un cas simple qu’il faudrait approfondir, la possibilité...

Étude comparée des deux types d'effilement

Marcel Brelot (1965)

Annales de l'institut Fourier

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On reprend une notion générale d’“effilement interne” de l’auteur relative à un cône convexe de fonctions réelles s.c.i. dans un espace $Ω$ , correspondant comme dans le cas classique à la topologie la moins fine (mais plus fine que celle de $Ω$ ) rendant les fonctions considérées continues. On considère d’autre part comme Gowrisankaran (ces Annales, tome 13) un cône de fonctions $\geq 0$ finies et un cône convexe de fonctions $\geq 0$ , satisfaisant à deux axiomes (sans topologie). On introduit les fonctions...

Sur un théorème de Keldych concernant le problème de Dirichlet

Gustave Choquet (1968)

Annales de l'institut Fourier

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D’après Keldych, pour tout domaine borné $Ω$ de $R^{n}$ , il existe une suite $D$ de points-frontière irréguliers de $Ω$ tels que pour toute donnée frontière continue, son prolongement harmonique de Perron-Weiner est continu sur $\overline{Ω}$ dès qu’il est continu en tout point de $D$ . On donne ici trois démonstrations simples de ce théorème, deux valables dans un cadre fort général, la troisième établissant un lien entre le comportement des fonctions de Green et celui des prolongements harmoniques...

Un principe du maximum pour les sous-solutions locales d’une équation uniformément elliptique de la forme $L u = - \sum_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} (\sum_{j} a_{i j} \frac{\partial u}{\partial x_{j}}) = 0$

Rose-Marie Hervé (1964)

Annales de l'institut Fourier

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Soient $Ω$ un domaine borné de $R^{n}$ et $W_{0}^{1, 2} (Ω)$ l’adhérence de $𝒟 (Ω)$ dans l’espace $W^{1, 2} (Ω)$ des fonctions qui $\in L^{2} (Ω)$ ainsi que leurs dérivées partielles premières. On démontre d’abord le principe du maximum suivant : une sous-solution locale dans $Ω$ , majorée p.p. au voisinage de $\partial Ω$ par une fonction $\in W_{0}^{1, 2} (Ω)$ est $\leq 0$ p.p. dans $Ω$ . Puis on vérifie que les solutions locales de $L u = 0$ forment un système de fonctions harmoniques satisfaisant aux axiomes de M. Brelot, ce qui permet de parler du problème de Dirichlet dans un...

Sur les points d'effilement d'un ensemble. Application à l'étude de la capacité

Gustave Choquet (1959)

Annales de l'institut Fourier

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On montre que pour tout ensemble $X$ d’un espace de Green, l’ensemble des points où $X$ est effilé peut être enfermé dans un ouvert $ω$ tel que $f (ω \cap X) < ϵ$ , ( $f$ désignant la capacité). On applique ensuite diversement ce résultat : par exemple, pour tout $X$ , et tout $ϵ > 0$ , il existe une partition $(X_{n})$ de $X$ telle que $Σ f ({\overline{X}}_{n}) < f (X) + ϵ$ .

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Compléments à la théorie de J. Deny

Étude comparée des deux types d'effilement

Sur un théorème de Keldych concernant le problème de Dirichlet

Un principe du maximum pour les sous-solutions locales d’une équation uniformément elliptique de la forme L u = - ∑ i ∂ ∂ x i ( ∑ j a i j ∂ u ∂ x j ) = 0

Sur les points d'effilement d'un ensemble. Application à l'étude de la capacité

Un principe du maximum pour les sous-solutions locales d’une équation uniformément elliptique de la forme $L u = - \sum_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} (\sum_{j} a_{i j} \frac{\partial u}{\partial x_{j}}) = 0$