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Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel

Rose-Marie Hervé (1962)

Annales de l'institut Fourier

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Ces recherches prolongent l’axiomatique des fonctions harmoniques de M. Brelot. Dans un espace Ω localement compact, connexe et localement connexe, qu’on supposera le plus souvent à base dénombrable, les fonctions harmoniques satisfont à trois axiomes : le 1er est un axiome de faisceau ; le 2e pose l’existence d’une base de la topologie formée de domaines réguliers, c’est-à-dire pour lesquels le problème de Dirichlet admet une solution unique, croissant avec la donnée ; le...

Quelques propriétés des fonctions surharmoniques associées à une équation uniformément elliptique de la forme L u = - ∑ i ∂ ∂ x i ( ∑ j a i j ∂ u ∂ x j ) = 0

Rose-Marie Hervé (1965)

Annales de l'institut Fourier

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Si l’on prend comme fonctions harmoniques les solutions locales de l’équation, les fonctions surharmoniques associées sont telles que les potentiels de support ponctuel donné sont proportionnels et que l’effilement ne dépend pas de l’opérateur L  ; on détermine aussi la plus grande minorante harmonique dans ω et ∈ W 1 , 2 ( ω ) .

Les fonctions surharmoniques associées à un opérateur elliptique du second ordre à coefficients discontinus

Rose-Marie Hervé, Michel Hervé (1969)

Annales de l'institut Fourier

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On étend aux solutions et sursolutions locales d’une équation elliptique de la forme - ∑ i ∂ u ∂ x i + ∑ j a i j ∂ u ∂ x i + d j u + ∑ i b i ∂ u ∂ x i + c u = 0 les propriétés démontrées dans le cas d i = b i = c = 0  : les solutions locales forment un système de fonctions harmoniques satisfaisant à l’axiomatique de M. Brelot, les fonctions surharmoniques coïncidant p.p. avec les sursolutions locales ; un principe du maximum pour les fonctions sous-harmoniques majorées par une fonction ϵ W 0 1 , 2  ; la stabilité par balayage sur un ensemble quelconque des fonctions...

Les fonctions surharmoniques dans l'axiomatique de M. Brelot associées à un opérateur elliptique dégénéré

Michel Hervé, Rose-Marie Hervé (1972)

Annales de l'institut Fourier

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Soit l’opérateur elliptique dégénéré L , du type considéré par J.-M. Bony dans ses travaux récents (par ex. Conférences du C.I.M.E., Stresa, juillet 1969), tel que le faisceau associé de fonctions harmoniques vérifie les axiomes de Brelot : on montre que les fonctions surharmoniques associées u sont localement intégrables et caractérisées par L u ≤ 0 , et que les potentiels à support ponctuel donné sont proportionnels.

Quelques propriétés des sursolutions et sursolutions locales d’une équation uniformément elliptique de la forme L u = - ∑ i ∂ ∂ x i ( ∑ j a i j ∂ u ∂ x j ) = 0

Rose-Marie Hervé (1966)

Annales de l'institut Fourier

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L’objet de cet article est l’étude de la classe des fonctions surharmoniques associées à l’opérateur L et appartenant à W 1 , 2 (resp. W loc 1 , 2 ) : on commence par montrer qu’elles coïncident avec les sursolutions (resp. sursolutions locales) ; puis on étudie les propriétés de stabilité de cette classe, en particulier par balayage sur un ensemble quelconque ; enfin on caractérise les potentiels ϵ 0 1 , 2 , qui sont les potentiels d’énergie finie.

Approximation et caractère de quasi-analyticité dans la théorie axiomatique des fonctions harmoniques

A. de La Pradelle (1967)

Annales de l'institut Fourier

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Dans le cadre de l’axiomatique de M. Brelot, et en utilisant la théorie des fonctions harmoniques adjointes de Madame R.M. Hervé, on caractérise la propriété de quasi-analycité notée A *  : toute fonction harmonique adjointe dans un domaine est nulle dès qu’elle est nulle au voisinage d’un point. On montre que A * est équivalente à une propriété d’approximation de toute fonction réelle finie continue sur les frontières d’ouverts relativement compacts. Cette approximation est réalisée à l’aide...