Indépendance linéaire de $\exp \left(f_1\right),...,\exp \left(f_p\right)$ où $f_1,...,f_p$ sont des fonctions holomorphes sur ${\mathbf{C}}^n$ avec $f_i-f_j$ non constante pour $i\ne j$.

On considère un opérateur $L$ défini par $$Lu=\sum _{i=1}^n{D}_i{\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)-\sum _{k=1}^N{D}_t[{\alpha }_{p,k}{u}_k]$$ où $u$ est une application de $\bar{\Omega }\times [0,T]$ dans ${\mathbf{R}}^N$ ($\Omega$ ouvert quelconque de $R^n$), ${\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)$ $(1\le i\le n;1\le p\le N)$ sont des opérateurs du premier ordre ${\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)={\sum }_{j,k}{a}_{ijk}^p{D}_j{u}_k$ dans le cas linéaire), ${\alpha }_{pk}$ et $a_{ijk}^p$ sont des fonctions non nécessairement bornées de $\bar{\Omega }\times [0,T]$. On démontre, sous certaines hypothèses, que les solutions de $-2uLu\le c_1{u}^2+\mu {\sum }_{i,p}{D}_i{u}_p.{\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)$ ($c_1$ fonction de $\bar{\Omega }\times [0,T]$, $\mu$ constante positive inférieure à 2), vérifient : $t\to {\int }_{\Omega }{\Phi }^2{\alpha }_{p,k}{u}_p.u_{k}dx$ est décroissante (${\Phi }^2$ fonction poids convenablement choisie). De ce résultat, on obtient...

Soit $S$ une partie finie de ${\mathbf{P}}^n$, $t$ un entier positif et ${\omega }_t\left(S\right)$ le plus petit degré des hypersurfaces de ${\mathbf{P}}^n$ ayant en chaque point de S une singularité de multiplicité $\ge t$. Un théorème d’existence de J.-P. Demailly concernant le prolongement des fonctions analytiques définies au voisinage d’une sous-variété linéaire de ${\mathbf{C}}^n$ nous permet d’obtenir des minorations fines de ${\omega }_t\left(S\right)/t$ pour tout $t$. En particulier, nous montrons $$({\omega }_{t_1}\left(S\right)+n-a-1)/(t_1+n-1)\le {\omega }_t\left(S\right)/t$$ où $a$ est la dimension de l’ensemble des points singuliers non...

Pour majorer les sommes d’exponentielles de la forme ${\sum }_{m\backsim M}e\left(f\left(m\right)\right)$ uniquement en fonction de la dérivée $k$-ième de $f$, on dispose soit de la méthode de van der Corput pour les petites valeurs de $k$, soit de celle de Vinogradov pour les grandes valeurs de $k$. La jonction entre ces deux méthodes, tenant compte des progrès récents de l’une et de l’autre, est obtenue ici en étudiant les cas $k=9,10,11$ par une méthode qui relève essentiellement de celle de Vinogradov. Des calculs difficiles, effectués sur ordinateur,...

Pour majorer la somme d’exponentielle $$\sum _{m=M+1}^{2M}e\left(TF(m/M)\right),$$ où $F:$ [1,2] $\to ℝ$ est une fonction “presque monomiale”, $M$ est une entier grand et $T$ un réel grand devant $M^4$, nous étudions le procédé $A^{k}BAD,\text{où}A\text{et}B$ désignent comme d’habitude les transformations $A\text{et}B$ de Van der Corput [2], et où $D$ désigne le double grand crible appliqué dans l’esprit de Fouvry et Iwaniec [1]. Nos résultats complètent le tableau 17.1 de [5] (voir également [4]) et sont résumés dans le corollaire 2 ci-dessous.

Soit $D$, un domaine borné, strictement pseudo-convexe de ${\mathbf{C}}^n$, on note $A^{\infty }\left(D\right)$, la classe des fonctions analytiques dans $D$, continues ainsi que toutes leurs dérivées dans $D$. Le principal résultat de ce travail est une condition suffisante pour qu’un sous-ensemble fermé de la frontière de $D$ soit l’ensemble des zéros d’une fonction $F$ de $A^{\infty }\left(D\right)$ et aussi l’ensemble des zéros communs à $F$ et à toutes ses dérivées.

Soit $\left\{{\phi }_{\nu }\right(x\left)\right\}$ une suite orthonormale dans l’intervalle $(-\infty \<a\le x\le b\<\infty )$. L’auteur démontre, que ${\sum }_{\nu =1}^N\left(1-\frac{\nu -1}{N}\right){\phi }_{\nu }\left(x\right)=0\left(N^{\frac{1}{2}}(logN{)}^{\frac{1}{2}+ϵ}\right)$ pour tout $ϵ\>0$ et presque partout dans $a\le x\le b$. La démonstration est basée sur un théorème de MM. Gál et Koksma et on peut généraliser aussi pour le cas $-\infty \le x\le \infty$ (théorème auxiliaire). En utilisant ce théorème auxiliaire on obtient tout de suite l’estimation connue pour les fonctions de Lebesgue (théorème 2) [voir Kaczmarcz et Steinhaus, Theorie der Orthogonalreihen, Warszawa, 1935, 577].