Étant donné $\Gamma$ une courbe de Jordan rectifiable du plan complexe admettant le paramétrage par la longueur d’arc $z\left(s\right)$, on étudie les relations entre la géométrie de $\Gamma$ et la position dans $L^2\left(\Gamma \right)$ des deux espaces de Hardy associés à $\Gamma$. Plus précisément, on montre que si $L^2\left(\Gamma \right)$ est la somme presque-orthogonale des espaces de Hardy, la courbe $\Gamma$ satisfait à une condition de type corde-arc, c’est-à-dire que pour tout $s$ et tout $t$ de $\mathbf{R}$, $|s-t|\le C\left|z\right(s)-z(t\left)\right|$. Ce résultat est une sorte de réciproque à la généralisation du théorème...

Un domaine $\Omega$ simplement connexe est dit régulier s’il vérifie la condition suivante : il existe $\exists \mathbf{C}\>0,\forall z_0\in \mathbf{C},\forall r\>0,{𝒦}^1(\partial \Omega \cap \{|z-z_0|\<r\})\le Cr,$ où ${\mathscr{H}}^1$ désigne la mesure de Hausdorff 1-dimensionnelle. On appelle $X$ l’ensemble des couples ($\Phi$,$\Omega )$, où $\Omega$ est un domaine régulier, et $\Phi$ une représentation conforme de ${\mathbf{R}}_{+}^2$ sur $\Omega$. $X_0$ est l’ensemble des ($\Phi$,$\Omega )$ appartenant à $X$ tels que $\Omega$ soit un domaine de Lavrentiev. On pose $$\widetilde{𝒟}=\{log{\Phi }^{\text{'}};(\Phi ,\Omega )\in X\}\text{et}\widetilde{ℒ}=\{Log{\Phi }^{\text{'}};(\Phi ,\Omega )\in X_0\}.$$ Nous montrons que $\widetilde{𝒟}$ est inclus dans $BMOA\left({\mathbf{R}}_{+}^2\right)$ et que $\widetilde{ℒ}$ est l’intérieur de $\widetilde{𝒟}$ dans cet espace. Nous montrons de...

Étant donnés dans un plan deux domaines $C$ et $C^{\text{'}}$, simplement connexes, et sans point commun, et une représentation conforme biunivoque $\phi$ de $C$ sur $C^{\text{'}}$, existe-t-il un domaine $D$ contenant $C$ et $C^{\text{'}}$ et une fonction $f$ holomorphe dans $D$, qu’elle représente sur un domaine $\Delta$ de sorte que les images de $C$ et $C^{\text{'}}$ par $f$ soient déduites l’une de l’autre par une translation associant les images dans $\Delta$ de deux points de $C$ et $C^{\text{'}}$ associés dans $D$ par $\phi$ ? $D$ et $f$ existent sous des conditions...

Let [0;a₁(x),a₂(x),…] be the regular continued fraction expansion of an irrational x ∈ [0,1]. We prove mainly that, for α > 0, β ≥ 0 and for almost all x ∈ [0,1], $li{m}_{n\to \infty }(aⁿ₁\left(x\right)+\dots +aⁿₙ\left(x\right))/nlogn=\alpha /log2$ if α < 1 and β ≥ 0, $li{m}_{n\to \infty }(aⁿ₁\left(x\right)+\dots +aⁿₙ\left(x\right))/nlogn=1/log2$ if α = 1 and β < 1, and, if α > 1 or α = 1 and β >1, $lim in{f}_{n\to \infty }(aⁿ₁\left(x\right)+\dots +aⁿₙ\left(x\right))/nlogn=1/log2$, $lim su{p}_{n\to \infty }(aⁿ₁\left(x\right)+\dots +aⁿₙ\left(x\right))/nlogn=\infty$, where $a{ⁿ}_i\left(x\right)=a_i\left(x\right)$ if $a_i\left(x\right)\le n^{\alpha }lo{g}^{\beta }n$ and $a{ⁿ}_i\left(x\right)=0$ otherwise, for all i ∈ 1,…,n.

Le théorème CRT dit comment reconstruire un signal à partir d’un échantillonnage de fréquences parcimonieux. L’hypothèse sur le signal, considéré comme porté par un groupe cyclique d’ordre $N$, est qu’il est porté par un petit nombre de points, $s$, et la méthode est de choisir aléatoirement $CslogN$ fréquences et de minimiser dans l’algèbre de Wiener le prolongement à $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ de la transformée de Fourier du signal réduite à ces fréquences. Quand $C$ est grand, la probabilité de reconstruire le signal...

Nous montrons dans la première partie l’existence d’un prolongement méromorphe à $ℂ$ et explicitons les propriétés et quelques conséquences, d’une large classe de séries zêta des hauteurs associées à l’espace projectif ${\mathbb{P}}_n\left(\mathbb{Q}\right)$ $(n\ge 1)$. Nous montrons dans la deuxième partie que, dans le cas du plan projectif éclaté en un point sur $\mathbb{Q}$, les fonctions zêta de hauteur associées aux fibrés en droite dont les classes sont à l’intérieur du cône des diviseurs effectifs possèdent...

Generalizing the classical BMO spaces defined on the unit circle with vector or scalar values, we define the spaces $BM{O}_{{\psi }_q}\left(\right)$ and $BM{O}_{{\psi }_q}(,B)$, where ${\psi }_q\left(x\right)=e^{x^q}-1$ for x ≥ 0 and q ∈ [1,∞[, and where B is a Banach space. Note that $BM{O}_{{\psi }_1}\left(\right)=BMO\left(\right)$ and $BM{O}_{{\psi }_1}(,B)=BMO(,B)$ by the John-Nirenberg theorem. Firstly, we study a generalization of the classical Paley inequality and improve the Blasco-Pełczyński theorem in the vector case. Secondly, we compute the idempotent multipliers of $BM{O}_{{\psi }_q}\left(\right)$. Pisier conjectured that the supports of idempotent multipliers of...