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Sur les nombres premiers généralisés de Beurling. Preuve d'une conjecture de Bateman et Diamond

Jean-Pierre Kahane (1997)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Soit P une partie discrète et multiplicativement libre de la demi-droite ouverte ] 1 , ∞ [ , et N le semi-groupe unitaire engendré par P . Les éléments de P s’appellent nombres premiers généralisés et ceux de N entiers généralisés. Les fonctions de décompte correspondantes sont désignées P ( x ) et N ( x ). Le problème de Beurling consiste à donner des conditions sur N ( x ) qui entrainent le “ théorème des nombres premiers ” P ( x ) ∼ x / log x ( x → ∞ ) . En posant N ( x ) = D x + x ϵ ( x ) , la condition de Beurling est ϵ ( x ) = O ( ( log x ) - a ) avec a > 3 2 , et il y a un contre-exemple avec...

Ordre de grandeur de L ( 1 , χ ) et de L ' ( 1 , χ )

Jean-René Joly, Claude Moser (1979)

Annales de l'institut Fourier

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On étudie sommairement la distribution des valeurs de L ' ( 1 , χ ) ( χ : caractère de Dirichlet primitif réel) et on constate qu’on a en général L ' ( 1 , χ ) < π 2 / 6 ; on démontre par ailleurs que L ( 1 , χ ) > c ( ϵ ) / log k ( k : conducteur de χ ; c ( ϵ ) : constante positive effectivement calculable.

Extension d'un théorème de Carleman

Pierre Lelong (1962)

Annales de l'institut Fourier

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On étend au cas de n variables la solution d’un problème de T. Carleman, et on l’applique à la définition de classes quasi-analytiques de fonctions dérivables f ( x 1 , ... , x n ) . Parmi les classes définies sur un ouvert par les conditions | D ( α ) f ≤ M ( α ) , ( α ) indice de dérivation multiple, on caractérise celles, C [ M ( α ) ] , qui ne peuvent contenir de fonction f ≢ 0 , à support compact. Extension aux classes définies à partir d’une suite P ∂ ∂ x k ( f ) d’opérateurs polynômes différentiels, homogènes, à coefficients constants. ...

Solution à croissance du second problème de Cousin dans ℂ n

Henri Skoda (1971)

Annales de l'institut Fourier

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Étant donné une hypersurface X de ℂ n , on majore la croissance des fonctions entières définissant X . On en déduit qu’une fonction méromorphe f dans ℂ n s’écrit comme quotient de deux fonctions entières g et h , dont la croissance est liée à celle de  f .

Meilleure approximation polynomiale et croissance des fonctions entières sur certaines variétés algébriques affines

Ahmed Zeriahi (1987)

Annales de l'institut Fourier

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Soit K un compact polynomialement convexe de C n et V K son “potentiel logarithmique extrémal” dans C n . Supposons que K est régulier (i.e. V K continue) et soit f une fonction holomorphe sur un voisinage de K . On construit alors une suite { P ℓ } ℓ ≥ 1 de polynôme de n variables complexes avec deg ( P ) ≤ ℓ pour ℓ ≥ 1 , telle que l’erreur d’approximation max z ∈ K | f ( z ) - P ℓ ( z ) | soit contrôlée de façon assez précise en fonction du “pseudorayon de convergence” de f par rapport à K et du degré de convergence ℓ . Ce résultat est ensuite utilisé...

Sur les suites de fonctions analytiques

André Hirschowitz (1970)

Annales de l'institut Fourier

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Soient E un e.v.t., F un sous-espace de E , f une fonction analytique de C dans E , telle que F contienne l’image de C * . On cherche les valeurs que f peut prendre en zéro puis on fait la liaison entre ce problème et un problème de prolongement analytique.