On étend au cas de $n$ variables la solution d’un problème de T. Carleman, et on l’applique à la définition de classes quasi-analytiques de fonctions dérivables $f(x_1,...,x_n).$ Parmi les classes définies sur un ouvert par les conditions $|D^{\left(\alpha \right)}f\le M_{\left(\alpha \right)},$ $\left(\alpha \right)$ indice de dérivation multiple, on caractérise celles, $C\left[M_{\left(\alpha \right)}\right]$, qui ne peuvent contenir de fonction $f\not\equiv 0$, à support compact. Extension aux classes définies à partir d’une suite $P\left[\frac{\partial }{\partial x_k}\right]\left(f\right)$ d’opérateurs polynômes différentiels, homogènes, à coefficients constants. ...

Let $\tau \left(n\right)$ be the number of divisors of $n$ ; let us define $$S_{\lambda }\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}Card\left\{n\le x;\tau \left(n\right)\ge {(logx)}^{\lambda log2}\right\}\hfill & \mathrm{if}\lambda \ge 1\hfill \\ Card\left\{n\le x;\tau \left(n\right)\<{(logx)}^{\lambda log2}\right\}\hfill & \mathrm{if}\lambda \<1\hfill \end{array}\right.$$ It has been shown that, if we set $$f(\lambda ,x)=\frac{x}{{(logx)}^{\lambda log\lambda -\lambda +1}\sqrt{loglogx}}$$ the quotient $S\lambda \left(x\right)/f(\lambda ,x)$ is bounded for $\lambda$ fixed.$$ The aim of this paper is to give an explicit value for the inferior and superior limits of this quotient when $\lambda \ge 2$. For instance, when $\lambda =1/log2$, we prove $$liminf\frac{S_{\lambda }\left(x\right)}{f(\lambda ,x)}=0.938278681143\cdots$$ and $$liminf\frac{S_{\lambda }\left(x\right)}{f(\lambda ,x)}=1.148126773469\cdots$$

Étant donné une hypersurface $X$ de ${ℂ}^n$, on majore la croissance des fonctions entières définissant $X$. On en déduit qu’une fonction méromorphe $f$ dans ${ℂ}^n$ s’écrit comme quotient de deux fonctions entières $g$ et $h$, dont la croissance est liée à celle de $f$.

On montre l’équivalence entre certaines inégalités “à la Carleman” et certaines propriétés de régularité des solutions à support compact d’équations aux dérivées partielles à coefficients constants : $P\left(D\right)$ étant un opérateur différentiel sur ${\mathbf{R}}^n$, on en déduit une caractérisation, en termes d’inégalités $L^2$, des ouverts $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^n$ tels que $\Omega \times {\mathbf{R}}^k$ soit $P\left(D\right)$-convexe pour tout entier $k$.

Les fonctions entières de $n$-variables et de type exponentiel jouent un rôle particulier en Analyse ; on les rencontre comme transformées de Fourier d’opérateurs linéaires (mesures, distributions, fonctionnelles analytiques). L’étude faite ici comporte deux aspects. Tout d’abord on définit des indicatrices de croissance appelées respectivement radiales et cerclées, et l’on passe à leurs régularisées supérieures. Ce sont des fonctions plurisousharmoniques. Elles permettent de définir directement...