$s\left(n\right)$ désigne la somme des chiffres de l’entier $n$ en base $q$ et ${\sigma }_{\alpha }\left(n\right)$ la somme des chiffres de $n$ associée au développement de $\alpha$ en fraction continue. Dans un article paru aux Annales de l’Institut Fourier (31 (1981), 1–15), Coquet, Rhin et Toffin montrent que, lorsque $x$ ou $y$ est irrationnel, la suite $xs+y{\sigma }_{\alpha }$ est équirépartie modulo 1. On précise ici que l’équirépartition est uniforme.

On étudie les systèmes différentiels singulièrement perturbés de dimension 3 du type $$\{\begin{array}{ccc}\dot{x}\hfill & =& f(x,y,z,\epsilon ),\hfill \\ \dot{y}\hfill & =& g(x,y,z,\epsilon ),\hfill \\ \epsilon \dot{z}\hfill & =& h(x,y,z,\epsilon ),\hfill \end{array}$$ où $f$, $g$, $h$ sont analytiques quelconques. Les travaux antérieurs étudiaient les points réguliers où la surface lente $h=0$ est transverse au champ rapide vertical. C’est le domaine d’application du théorème de Tikhonov. Dans d’autres travaux antérieurs, on étudiait les singularités de certains types : plis et fronces de la surface lente, ainsi que certaines singularités plus compliquées,...

On considère un système semi-linéaire du premier ordre de taille $2\times 2$ dans un ouvert de ${ℝ}^n$, une hypersurface $S$ non caractéristique et une hypersurface $\Gamma$ de $S$. On suppose que, par $\Gamma$, passent deux hypersurfaces caractéristiques ${\Sigma }_1$, ${\Sigma }_2$ transverses et que les bicaractéristiqiues sur ${\Sigma }_1$, ${\Sigma }_2$ sont transverses à $\Gamma$. Soit $u$ une solution dans une demi-région $\Omega$ délimitée par $\sigma$. On suppose que $u$ est la restriction à $\Omega$ d’une distribution conormale par morceaux par rapport à ${\Sigma }_1$, ${\Sigma }_2$. Pour le problème de Cauchy,...

Dans cet article, nous démontrons deux résultats. L’un concerne les séries $f^{\text{'}}\left(z\right)=\sum a\left(n\right)z^n/n!$ telles que $\sum a\left(n\right)x^n$ est une série algébrique. Soit $AE$ cet ensemble de fonctions. Si $f$ appartient à $AE$, et si $g\left(z\right)$ est un polynôme-exponentiel tel que $h\left(z\right)=f\left(z\right)/g\left(z\right)$ est entière, alors il existe un polynôme $P\left(z\right)$ tel que $P\left(z\right)h\left(z\right)$ appartienne à $AE$. L’autre résultat est parallèle au premier. Soit $\sum u\left(n\right)x^n$ une série algébrique à coefficients dans un corps $𝕂$ (qui est soit $𝕂$, soit un corps quadratique imaginaire). Soit $\sum v\left(n\right)x^n$ une série rationnelle à...

On considère le problème de Dirichlet : $$(d{d}^{c}u{)}^n=0\mathrm{dans}B$$ et $$u{|}_{\partial B}=\varphi$$ où $B$ désigne la boule unité de ${ℂ}^n.$ Nous donnons une démonstration simple du fait que si $\varphi \in C^{1,1}\left(\partial B\right)$, alors $u\in C^{1,1}\left(B\right)$; de plus la croissance du coefficient de Lipschitz de la différentielle de $u$ est contrôlée par l’inverse de la distance au bord.

Nous caractérisons les couples de fonctions différentiables $(f,g)$, définies sur une variété compacte $V$ de dimension $\ge 2$, qui sont simultanément stables en ce sens que, pour tout couple $(f^{\text{'}},g^{\text{'}})$ assez voisin, il existe un difféomorphisme $h$ de $V$ et deux difféomorphismes $\lambda$ et $\mu$ de $\mathbf{R}$ tels que $h$ et $\lambda$ échangent $f$ et $f^{\text{'}}$ alors que $h$ et $\mu$ échangent $g$ et $g^{\text{'}}$. L’outil essentiel est une technique de résolution des équations du type $\eta \left(x\right)=X=(x^2+x^3)+(1+x)Y\left(x_2\right)$ où les inconnues $X$ et $Y$ sont des fonctions de classe $C^{\infty }$.