Soient $P\left(\underset{\_}{x}\right)=P(x_1,...,x_n)$ et $Q\left(\underset{\_}{x}\right)=Q(x_1,...,x_n)$ deux polynômes à coefficients positifs vérifiant : $$\underset{\genfrac{}{}{0pt}{}{\left|\underset{\_}{x}\right|\to +\infty }{x_1,...,x_n\ge 1}}{lim}\frac{P\left(\underset{\_}{x}\right)}{Q\left(\underset{\_}{x}\right)}=+\infty .$$ Soient $\underset{\_}{\eta }=({\eta }_1,...,{\eta }_n)\in {\mathbf{N}}^n$ et $R=P/Q$. On étudie la série de Dirichlet $Z(R,\underset{\_}{\eta };s)={\sum }_{{\eta }_1,...,{\eta }_n=1}^{\infty }{\underset{\_}{\eta }}^{\underset{\_}{\eta }}R(\underset{\_}{\eta }{)}^{-s}$ : abscisse de convergence absolue, existence et nature du prolongement méromorphe, ordre de grandeur dans les bandes verticales. On donne un procédé de construction du prolongement méromorphe de la fonction $s\mapsto Z(R,\underset{\_}{\eta };s)$ qui ne dépend que de $\underset{\_}{\eta }$ et de certains monômes de $P$ et $Q$: les monômes extrémaux.

Ce travail est une étude analytique locale de l’anneau des séries de Dirichlet convergentes. Dans un premier temps, on établit des propriétés arithmétiques de cet anneau ; on prouve en particulier sa factorialité, que l’on déduit de théorèmes de division du type Weierstrass. Ensuite, on s’intéresse à des problèmes de composition. Soient $f\left(s\right)$ et $\varphi \left(s\right)$ des séries de Dirichlet convergentes. On sait que $f(c_{0}s+\varphi \left(s\right)),$ avec $c_0\in {\mathbb{N}}^{*},$ est encore une série de Dirichlet convergente. On étudie la réciproque : sous les hypothèses...

Cette note contient deux résultats : - d’une part, une majoration de l’abscisse d’absolue convergence du développement en série de Dirichlet de l’inverse de la somme d’une série de Dirichlet donnée. - d’autre part, le fait que tout polynôme de Dirichlet non constant $$1+\sum _{2\le k\le N}{a}_k{\lambda }_k^{-s}\text{où}\text{les}{a}_k\text{sont}\text{des}\text{entiers}\text{relatifs}$$ et les ${\lambda }_k$ sont des nombres réels $\>1$ s’annule dans tout demi-plan Réel $s\>-ϵ$ où $ϵ\>0$. L’un et l’autre de ces résultats sont conséquences d’une proposition que l’on démontre...

L’article donne des réponses optimales ou presque optimales aux questions suivantes, qui remontent à Stieltjes, Landau et Bohr, et concernent des séries de Dirichlet $A_j=\sum _{n=1}^{\infty }a(j,n)n^{-s}$ $(j=1,2,\cdots ,k)$ et leur produit $C=\sum _{n=1}^{\infty }c\left(n\right)n^{-s}.$ 1. Supposant que les $A_j$ sont convergentes aux points ${\rho }_j$ et absolument convergentes aux points ${\rho }_j+{\tau }_j,$ en quels points $s$ s’ensuit-il que $C$ est convergente ? 2. Supposant que les $A_j$ sont...

Soit $S$ une partie finie de ${\mathbf{P}}^n$, $t$ un entier positif et ${\omega }_t\left(S\right)$ le plus petit degré des hypersurfaces de ${\mathbf{P}}^n$ ayant en chaque point de S une singularité de multiplicité $\ge t$. Un théorème d’existence de J.-P. Demailly concernant le prolongement des fonctions analytiques définies au voisinage d’une sous-variété linéaire de ${\mathbf{C}}^n$ nous permet d’obtenir des minorations fines de ${\omega }_t\left(S\right)/t$ pour tout $t$. En particulier, nous montrons $$({\omega }_{t_1}\left(S\right)+n-a-1)/(t_1+n-1)\le {\omega }_t\left(S\right)/t$$ où $a$ est la dimension de l’ensemble des points singuliers non...

Étant donné un système $\left(S\right)$ d’équations différence-différentielles à coefficients constants en deux variables, où les retards sont commensurables, de la forme : ${\mu }_1*f=0$, ${\mu }_2*f=0$, si le système n’est pas redondant (i.e. $V\{{\widehat{\mu }}_1={\widehat{\mu }}_2=0\}$ est discrète dans ${\mathbf{C}}^2$), toute solution $C^{\infty }$ du système admet une représentation $f\left(x\right)=\Sigma a_{\gamma }\left(x\right)e^{i⟨\gamma ,x⟩}$, où $\gamma \in V$, $a_{\gamma }\in \mathbf{C}[x_1,x_2]$ et $a_{\gamma }\left(x\right)e^{i⟨\gamma ,x⟩}$ est une solution du système $\left(S\right)$. La série est de plus convergente dans $ℰ\left({\mathbf{R}}^2\right)$ après un groupement de termes indépendant de la solution $f$.