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Ordre de grandeur de L ( 1 , χ ) et de L ' ( 1 , χ )

Jean-René Joly, Claude Moser (1979)

Annales de l'institut Fourier

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On étudie sommairement la distribution des valeurs de L ' ( 1 , χ ) ( χ : caractère de Dirichlet primitif réel) et on constate qu’on a en général L ' ( 1 , χ ) < π 2 / 6 ; on démontre par ailleurs que L ( 1 , χ ) > c ( ϵ ) / log k ( k : conducteur de χ ; c ( ϵ ) : constante positive effectivement calculable.

Sur les nombres premiers généralisés de Beurling. Preuve d'une conjecture de Bateman et Diamond

Jean-Pierre Kahane (1997)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Soit P une partie discrète et multiplicativement libre de la demi-droite ouverte ] 1 , [ , et N le semi-groupe unitaire engendré par P . Les éléments de P s’appellent nombres premiers généralisés et ceux de N entiers généralisés. Les fonctions de décompte correspondantes sont désignées P ( x ) et N ( x ). Le problème de Beurling consiste à donner des conditions sur N ( x ) qui entrainent le “ théorème des nombres premiers ” P ( x ) x / log x ( x ) . En posant N ( x ) = D x + x ϵ ( x ) , la condition de Beurling est ϵ ( x ) = O ( ( log x ) - a ) avec a > 3 2 , et il y a un contre-exemple avec...

Sur les entiers N pour lesquels il y a beaucoup de groupes abéliens d’ordre N

Jean-Louis Nicolas (1978)

Annales de l'institut Fourier

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Soit a ( n ) le nombre de groupes abéliens d’ordre n . Pour étudier les grandes valeurs prises par a ( n ) , on définit, comme l’a fait Ramanujan pour le nombre de diviseurs de n , les nombres a -hautement composés et a -hautement composés supérieurs. Pour calculer ces derniers nombres, on détermine les sommets de l’enveloppe inférieure convexe de la fonction log P ( n ) P ( n ) est le nombre de partitions de n . Sous l’hypothèse de Riemann, on donne un développement asymptotique de l’ordre maximum de la fonction...

Relations entre la convexité dans le complexe et le prolongement des propriétés dans le réel

Szolem Mandelbrojt (1972)

Annales de l'institut Fourier

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Dans le chapitre I on indique la croissance de ω et de la fonction convexe C pour que de log | F ( z ) | π | y | - ω ( | y | ) ( y = Im z ) , log | F ( n ) | - C ( | n | ) ( n entier quelconque, F fonction entière) résulte log | F ( z ) | π | y | - C ( a | z | ) . Dans le chapitre II on indique des propriétés fonctionnelles qui sont nécessairement valables sur [ - π , π ] si on les suppose sur une partie de cet intervalle, la série de Fourier correspondante étant “assez” lacunaire. Le chapitre III montre l’analogie entre les méthodes employées dans II et celles utilisées dans les...