On se propose de démontrer que la formule d’inversion de Lagrange est encore valide sur un anneau commutatif, même pour une série ayant quelques termes à coefficients nilpotents avant le terme de degré 1 (dont le coefficient est inversible). On n’use que de techniques algébriques.

Using umbral calculus, we establish a symmetric identity for any sequence of polynomials satisfying $A_{n+1}^{\text{'}}\left(x\right)=(n+1)A_n\left(x\right)$ with $A_0\left(x\right)$ a constant polynomial. This identity allows us to obtain in a simple way some known relations involving Apostol-Bernoulli polynomials, ApostolEuler polynomials and generalized Bernoulli polynomials attached to a primitive Dirichlet character.