Si $p_k$ est le k${}^{ème}$ nombre premier, $\theta \left(p_k\right)={\sum }_{i=1}^{k}log{p}_i$ la fonction de Chebyshev. Nous obtenons de nouvelles estimations et des améliorations des bornes données par Rosser et Schoenfeld, Schoenfeld et Robin pour les fonctions$$p_k,\theta \left(p_k\right),S_k=\sum _{i=1}^k{p}_i,\text{et}S\left(x\right)=\sum _{p\le x}p.$$Ces estimations sont obtenues en utilisant des méthodes basées sur l’intégrale de Stieltjes et par calcul direct pour les petites valeurs.