Sia a un intero algebrico con il polinomio minimale $f\left(X\right)$. Si danno condizioni necessarie e sufficienti affinché l'anello $\mathbb{Z}\left[\alpha \right]$ sia seminormale o $t$-chiuso per mezzo di $f\left(X\right)$. Come applicazione, in particolare, si ottiene che se $f\left(X\right)=X^3+aX+b$, $a$, $b\in \mathbb{Z}$ le condizioni sono espresse mediante il discriminante de $f\left(X\right)$.