It has been previously established that a Cremona transformation of bidegree (2,2) is linearly equivalent to the projectivization of the inverse map of a rank 3 Jordan algebra. We call this result the “$JC$-correspondence”. In this article, we apply it to the study of quadro-quadric Cremona transformations in low-dimensional projective spaces. In particular we describe new very simple families of such birational maps and obtain complete and explicit classifications in dimension 4 and 5.

On présente certaines (malheureusement pas toutes) propriétés connues du groupe de Cremona en faisant, lorsque c’est possible, un parallèle avec le groupe des automorphismes polynomiaux de ${ℂ}^2$. Les propriétés abordées seront essentiellement de nature algébrique : théorème de génération, sous-groupes finis, sous-groupes de type fini, description du groupe d’automorphismes du groupe de Cremona,... mais aussi de nature dynamique : classification des transformations birationnelles, centralisateur, dynamique...