We study the geometry of $𝒟$-bundles—locally projective $𝒟$-modules—on algebraic curves, and apply them to the study of integrable hierarchies, specifically the multicomponent Kadomtsev–Petviashvili (KP) and spin Calogero–Moser (CM) hierarchies. We show that KP hierarchies have a geometric description as flows on moduli spaces of $𝒟$-bundles; in particular, we prove that the local structure of $𝒟$-bundles is captured by the full Sato Grassmannian. The rational, trigonometric, and elliptic solutions of KP...

Soient $𝒱$ un anneau de valuation discrète complet d’inégales caractéristiques, $𝒫$ un $𝒱$-schéma formel séparé et lisse, $P$ sa fibre spéciale, $X$ un sous-schéma fermé de $P$, $T$ un diviseur de $P$ tel que $T_X=T\cap X$ soit un diviseur de $X$ et ${𝒟}_{𝒫}^{†}{\left(\phantom{}{}^{†}T\right)}_{\mathbb{Q}}$ le complété faible du faisceau des opérateurs différentiels sur $𝒫$ à singularités surconvergentes le long de $T$ tensorisé par $\mathbb{Q}$. Nous construisons un foncteur pleinement fidèle, noté ${\mathrm{sp}}_{X\hookrightarrow 𝒫,T,+}$, de la catégorie des isocristaux sur $X\setminus T_X$ surconvergents le long de $T_X$ dans celle des ${𝒟}_{𝒫}^{†}{\left(\phantom{}{}^{†}T\right)}_{\mathbb{Q}}$-modules cohérents...

Nous étudions d’abord le foncteur cohomologique local. Ensuite, nous introduisons la notion de $𝒟$-modules arithmétiques surcohérents. Nous prouvons que les $F$- isocristaux unités sont surcohérents et surtout que la surcohérence est stable par images directes, images inverses extraordinaires et foncteurs cohomologiques locaux. On obtient, via cette stabilité, une formule cohomologique pour les fonctions $L$ associées aux complexes duaux de complexes surcohérents. Celle-ci étend celle d’Étesse et Le Stum...

Soient $k$ un corps parfait de caractéristique $p\>0$, $U$ une variété sur $k$ et $F$ une puissance de Frobenius. Nous construisons la catégorie des ($F$-)$𝒟$-modules arithmétiques surholonomes sur $U$ et celle des ($F$-)complexes de $𝒟$-modules arithmétiques sur $U$ surholonomes. Nous montrons que les complexes surholonomes sont stables par images directes, images inverses, images inverses extraordinaires, images directes extraordinaires, foncteurs duaux. De plus, lorsque $U$ est lisse, nous vérifions que les $F$-isocristaux...

Dans cet article on étudie les $𝒟$-modules dont le support singulier est un croisement normal dans ${\mathbf{C}}^n$, par l’intermédiaire de la catégorie équivalente de faisceaux pervers. On montre qu’ils sont caractérisés, à isomorphisme près, par la donnée suivante : un hypercube constitué par des espaces vectoriels de dimension finie $F_I$ indexés par les parties de $\{1,...,n\}$, et des applications linéaires $F_I\rightleftarrows F_{I\cup \left\{i\right\}}$ soumises à certaines conditions de commutativité et d’inversibilité. Ce résultat est exprimé sous forme d’une équivalence...

Dans un article sur la transformation de Radon-Penrose, A. D’Agnolo et P. Schapira ont montré qu’au-dessus d’une variété complexe $X$ de dimension $\ge 3$, tout $\widehat{ℰ}$- module localement libre de rang $1$ est de la forme $\widehat{ℰ}{\otimes }_{{\pi }^{-1}𝒪}{\pi }^{-1}ℒ$ pour un fibré inversible $ℒ$ sur $X$. Ce résultat est faux en dimension $2$, et le but de ce travail est de déterminer la structure des $𝒟$- modules micro-localement libres de rang $1$ dans ce cas. Un des principaux résultat est la description des $𝒟$-modules micro-localement libres de rang un en termes...

Let $X$ be a proper, smooth, geometrically connected curve over a $p$-adic field $k$. Lichtenbaum proved that there exists a perfect duality:$$\text{Br}\left(X\right)\times \text{Pic}\left(X\right)\to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$$between the Brauer and the Picard group of $X$, from which he deduced the existence of an injection of $\text{Br}\left(X\right)$ in ${\displaystyle \prod _{P\in X}\text{Br}\left(k_P\right)}$ where $P\in X$ and $k_P$ denotes the residual field of the point $P$. The aim of this paper is to prove that if $G=\tilde{G}$ is an $X_{et}$- scheme of semi-simple simply connected groups (s.s.s.c groups), then we can deduce from Lichtenbaum’s results the neutrality of every $X_{et}$-gerb which...

We study 2-frieze patterns generalizing that of the classical Coxeter-Conway frieze patterns. The geometric realization of this space is the space of $n$-gons (in the projective plane and in 3-dimensional vector space) which is a close relative of the moduli space of genus $0$ curves with $n$ marked points. We show that the space of 2-frieze patterns is a cluster manifold and study its algebraic and arithmetic properties.

R. Hartshorne and A. Hirschowitz proved that a generic collection of lines on ℙn, n≥3, has bipolynomial Hilbert function. We extend this result to a specialization of the collection of generic lines, by considering a union of lines and 3-dimensional sundials (i.e., a union of schemes obtained by degenerating pairs of skew lines).