We classify quartic del Pezzo surface fibrations over the projective line via numerical invariants, giving explicit examples for small values of the invariants. For generic such fibrations, we describe explicitly the geometry of spaces of sections to the fibration, and mappings to the intermediate Jacobian of the total space. We exhibit examples where these are birational, which has applications to arithmetic questions, especially over finite fields.

Soit $C$ la courbe projective lisse et irréductible, définie sur $Q$, et dont un modèle affine est donné par $y^2=x^5-1$. On désigne par $\infty$ l’unique point de $C$ qui n’est pas contenu dans cette partie affine. Soit $J$ la jacobienne de $C$ et soit $\phi :C^2⟶J$ le morphisme associant à chaque couple $(\xi ,\eta )$ de points de $C$ la classe du diviseur $\left[\xi \right]+\left[\eta \right]-2\left[\infty \right]$ dans Pic${}_{0}C$. Soient $u,v,f$ les trois fonctions rationnelles sur $J$ définies par$$\begin{array}{cc}\hfill u\circ \phi (\xi ,\eta )& =x\left(\xi \right)+x\left(\eta \right),\hfill \\ \hfill v\circ \phi (\xi ,\eta )& =x\left(\xi \right)x\left(\eta \right),\hfill \\ \hfill f& =-u+v+1\hfill \end{array}$$Le but de cet article est de montrer que pour tout point $P$ de $3$-division non nul de $J,u\left(P\right)$ et $v\left(P\right)$ sont des entiers algébriques...