On définit les capacités de Choquet dans le cas fini en utilisant une forme bilinéaire non dégénérée associée à la base de Choquet. On montre que, dans le cas fini, une capacité de Choquet est la donnée d’un convexe de mesure qu’on caractérise. Le cas profini, issu des arbres, est obtenu par passage à la limite projective du cas fini. Sur les capacités profinies, on définit une forme bilinéaire dont le rapport avec l’intégration, dans des cas simples, est étudié.

On étudie les espaces de Sobolev $W^{r,p}(E,\mu )$ construits sur un espace localement convexe $E$ muni d’une mesure gaussienne centree $\mu$. Si $\mu$ est de Radon, on démontre que les capacités naturelles $c_{r,p}$ sont tendues sur les compacts. Cela résulte d’un principe général relatif aux quasi-normes.On s’intéresse également aux fonctions quasi-continues a valeurs banachiques, ce qui est utile pour les propriétés de Nikodym, et à des applications à la continuité des trajectoires des intégrales stochastiques.

This is a survey of various applications of the notion of the Choquet integral to questions in Potential Theory, i.e. the integral of a function with respect to a non-additive set function on subsets of Euclidean n-space, capacity. The Choquet integral is, in a sense, a nonlinear extension of the standard Lebesgue integral with respect to the linear set function, measure. Applications include an integration principle for potentials, inequalities for maximal functions, stability for solutions to...

Let $X$ be a metric space with a doubling measure, $Y$ be a boundedly compact metric space and $u:X\to Y$ be a Lebesgue precise mapping whose upper gradient $g$ belongs to the Lorentz space $L_{m,1}$, $m\ge 1$. Let $E\subset X$ be a set of measure zero. Then ${\widehat{\mathscr{H}}}_m(E\cap u^{-1}\left(y\right))=0$ for ${\mathscr{H}}_m$-a.e. $y\in Y$, where ${\mathscr{H}}_m$ is the $m$-dimensional Hausdorff measure and ${\widehat{\mathscr{H}}}_m$ is the $m$-codimensional Hausdorff measure. This property is closely related to the coarea formula and implies a version of the Eilenberg inequality. The result relies on estimates of Hausdorff content of level sets...