The aim of this paper is to answer the question: Do the controls of a vanishing viscosity approximation of the one dimensional linear wave equation converge to a control of the conservative limit equation? The characteristic of our viscous term is that it contains the fractional power α of the Dirichlet Laplace operator. Through the parameter α we may increase or decrease the strength of the high frequencies damping which allows us to cover a large class of dissipative mechanisms. The viscous term,...

Soit $\mathbf{A}$ un ensemble quelconque d’opérateurs différentiels en deux variables à coefficients complexes constants. Soit $C_0$ l’espace des fonctions continues complexes tendant vers zéro à l’infini dans le plan euclidien. Soit $C_0\left(\mathbf{A}\right)$ l’espace $\{f:f\in C_0,A_f{C}_0$, tout $a\in \mathbf{A}\}$. Classifier ces espaces équivaut à trouver des conditions nécessaires et suffisantes sur des opérateurs différentiels $P_1,...,P_n$ pour que $\parallel P_1\phi {\parallel }_{\infty }\le K(\parallel P_2\phi {\parallel }_{\infty }+\cdots +\parallel P_n\phi {\parallel }_{\infty })$. Il paraît que ce problème général est bien difficile. Nous présentons ici la solution complète dans le cas spécial des $C_0\left(\mathbf{A}\right)$ stables...