The connection between the functional inequalities $$f\left(\frac{x+y}{2}\right)⩽\frac{f\left(x\right)+f\left(y\right)}{2}+{\alpha }_J\left(x-y\right),x,y\in D,$$ and $${\int }_0^{1}f\left(tx+\left(1-t\right)y\right)\rho \left(t\right)dt⩽\lambda f\left(x\right)+\left(1-\lambda \right)f\left(y\right)+{\alpha }_{\mathrm{H}}\left(x-y\right),x,y\in D,$$ is investigated, where D is a convex subset of a linear space, f: D → ℝ, α H;α J: D-D → ℝ are even functions, λ ∈ [0; 1], and ρ: [0; 1] →ℝ+ is an integrable nonnegative function with ∫01 ρ(t) dt = 1.

La théorie des corps convexes a commencé à la fin du xixe siècle avec l’inégalité de Brunn, généralisée ensuite sous la forme de l’inégalité de Brunn-Minkowski-Lusternik, qui s’applique à des ensembles non convexes. Ce thème a depuis longtemps des contacts avec les problèmes isopérimétriques et avec des inégalités d’Analyse telle que les plongements de Sobolev. On développera quelques aspects plus récents des inégalités géométriques, dont certains sont liés à la technique du transport de mesure,...

The notion of relative measure of information in an abstract information space with generalized independence law is studied. The axiomatic definition is given and the form of dependence on the absolute measures is determined, as a solution of a system of functional equations.