Soit $a$ un réel de $]0,1[$. Nous étudions le système d’équations de convolution suivant$$(*)\forall x\in {\mathbf{R}}^2,f\left(x\right)=\frac{1}{4}\sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{ϵ=\pm 1}{{ϵ}^{\text{'}}=\pm 1}}f(x+(ϵ,{ϵ}^{\text{'}}\left)\right)=\frac{1}{4}\sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{ϵ=\pm 1}{{ϵ}^{\text{'}}=\pm 1}}f(x+a(ϵ,{ϵ}^{\text{'}}\left)\right).$$Nous démontrons que les exponentielles polynômes solutions de $(*)$ sont denses dans l’espace des solutions $C^{\infty }$ du système d’équations; l’idéal de ${ℰ}^{\text{'}}({\mathbf{R}}^2)$ engendré par les transformées de Fourier des deux mesures intervenant ici est “slowly decreasing” au sens de Berenstein-Taylor. Lorsque $a$ n’est pas un nombre de Liouville, nous montrons qu’il existe un ouvert relativement compact telle que toute solution distribution de $(*)$ régulière...

MSC 2010: 26A33, 46Fxx, 58C05 Dedicated to 80-th birthday of Prof. Rudolf GorenfloWe generalize the two forms of the fractional derivatives (in Riemann-Liouville and Caputo sense) to spaces of generalized functions using appropriate techniques such as the multiplication of absolutely continuous function by the Heaviside function, and the analytical continuation. As an application, we give the two forms of the fractional derivatives of discontinuous functions in spaces of distributions.