Résumé. On présente une fonction continue f: c₀ → c₀ qui satisfait à une condition lipschitzienne par rapport à la mesure de non-compacité de Hausdorff (ou Kuratowski), mais telle que f n'est pas la somme d'une fonction dissipative et d'une fonction compacte. Cet exemple attache de l'importance au théorème d'existence de Sabina Schmidt (1989) pour des équations différentielles dans les espaces de Banach.

Soit $W$ un espace ${ℒ}_1$ et soit $R$ un sous-espace réflexif de dimension infinie de $W$. Nous montrons que le quotient $W/R$ vérifie le théorème de Grothendieck, c’est-à-dire que tout opérateur de $W/R$ dans un espace de Hilbert est 1-sommant; par ailleurs, $W/R$ n’est pas un espace ${ℒ}_1$. Cela permet de répondre négativement à une question de Lindenstrauss-Pełczyński ainsi qu’à une question similaire de Grothendieck.

In this Note we first establish a result on the structure of the set of fixed points of a multi-valued contraction with convex values. As a consequence of this result, we then obtain the following theorem: Let $(U,\parallel \cdot {\parallel }_U)$, $(V,\parallel \cdot {\parallel }_V)$ be two real Banach spaces and let $\mathrm{\Phi }$ be a continuous linear operator from $U$ onto $V$. Put: $\alpha =sup\{inf\{{\parallel u\parallel }_U:u\in {\mathrm{\Phi }}^{-1}(v)\}:v\in V,{\parallel v\parallel }_V\le 1\}$. Then, for every $v\in V$ and every lipschitzian operator $\mathrm{\Psi }:U\to V$, with Lipschitz constant $L$ such that , the set $\{u\in U:\mathrm{\Phi }(u)+\mathrm{\Psi }(u)=v\}$ is non-empty and arc wise connected.

Let ${\beta \left(n\right)}_{n=0}^{\infty }$ be a sequence of positive numbers and 1 ≤ p < ∞. We consider the space ${\ell }^p\left(\beta \right)$ of all power series $f\left(z\right)={\sum }_{n=0}^{\infty }f̂\left(n\right)zⁿ$ such that ${\sum }_{n=0}^{\infty }{\left|f̂\left(n\right)\right|}^p{\left|\beta \left(n\right)\right|}^p<\infty$. We give some sufficient conditions for the multiplication operator, $M_z$, to be unicellular on the Banach space ${\ell }^p\left(\beta \right)$. This generalizes the main results obtained by Lu Fang [1].

We continue the investigation initiated in [Grafakos, L. and Li, X.: Uniform bounds for the bilinear Hilbert transforms (I). Ann. of Math. (2)159 (2004), 889-933] of uniform Lp bounds for the family of bilinear Hilbert transformsHα,β(f,g)(x) = p.v. ∫R f(x - αt) g (x - βt) dt/t.