Asymptotics with sharp remainder estimates are recovered for number $\mathbf{N}\left(\tau \right)$ of eigenvalues of the generalized Maxwell problem and for related Laplacians which are similar to Neumann Laplacian. We consider domains with ultra-thin cusps (with $exp(-|x{|}^{m+1}$) width ; $m\>0$) and recover eigenvalue asymptotics with sharp remainder estimates.

Nous donnons des résultats analytiques sur les propriétés de régularité du laplacien hypoelliptique de Jean-Michel Bismut et plus généralement sur les opérateurs $P$ de type Fokker-Planck géométrique agissant sur le fibré cotangent $\Sigma =T^{*}X$ d’une variété riemannienne compacte $X$. En particulier, nous prouvons un résultat d’hypoellipticité maximale pour $P$, et nous en déduisons des bornes sur la localisation de ses valeurs spectrales.