Je présenterai des résultats de T. Ekedahl et H. Esnault sur les variétés projectives lisses sur un corps de caractéristique strictement positive, disons $p$, dont deux points peuvent être liés par une chaîne de courbes rationnelles, par exemple faiblement unirationnelles, ou de Fano. Notamment : 1) sur un corps fini, de telles variétés ont un point rationnel, résultat qui généralise le théorème de Chevalley-Warning ; 2) sur un corps algébriquement clos, de telles variétés ont un groupe fondamental...

Let $\pi :Z\to X$ be a Galois covering of smooth projective curves with Galois group the Weyl group of a simple and simply connected Lie group $G$. For any dominant weight $\lambda$ consider the curve $Y=Z/\mathrm{Stab}\left(\lambda \right)$. The Kanev correspondence defines an abelian subvariety $P_{\lambda }$ of the Jacobian of $Y$. We compute the type of the polarization of the restriction of the canonical principal polarization of $\mathrm{Jac}\left(Y\right)$ to $P_{\lambda }$ in some cases. In particular, in the case of the group $E_8$ we obtain families of Prym-Tyurin varieties. The main idea is the use of...

Let $\pi :Z\to X$ denote a Galois cover of smooth projective curves with Galois group $W$ a Weyl group of a simple Lie group $G$. For a dominant weight $\lambda$, we consider the intermediate curve $Y_{\lambda }=Z/\mathrm{Stab}\left(\lambda \right)$. One defines a Prym variety $P_{\lambda }\subset \mathrm{Jac}\left(Y_{\lambda }\right)$ and we denote by ${\varphi }_{\lambda }$ the restriction of the principal polarization of $\mathrm{Jac}\left(Y_{\lambda }\right)$ upon $P_{\lambda }$. For two dominant weights $\lambda$ and $\mu$, we construct a correspondence $S_{\lambda \mu }$ on $Y_{\lambda }\times Y_{\mu }$ and calculate the pull-back of ${\varphi }_{\mu }$ by $S_{\lambda \mu }$ in terms of ${\varphi }_{\lambda }$.