We obtain an estimate for the Poisson kernel for the class of second order left-invariant differential operators on higher rank NA groups.

For rank one solvable Lie groups of the type NA estimates for the Poisson kernels and their derivatives are obtained. The results give estimates on the Poisson kernel and its derivatives in a natural parametrization of the Poisson boundary (minus one point) of a general homogeneous, simply connected manifold of negative curvature.

On montre que la fonction maximale de Hardy-Littlewood est de type $(p,p)$ sur certains groupes de Lie et variétés de Cartan-Hadamard.

On étudie les mesures définies sur $\mathbf{T}=\mathbf{R}/2\pi \mathbf{Z}$ par les produits ${\prod }_{j\ge 0}(1+\mathrm{Re}(a_j{e}^{i{\lambda }_{j}x}\left)\right)$, $\left(\right|a_j|\le 1$, ${\lambda }_j$ entier, ${\lambda }_{j+1}/{\lambda }_j\ge 3)$. Étant données deux telles mesures on donne des conditions assurant soit qu’elles sont étrangères, soit que l’une est absolument continue par rapport à l’autre. On donne une minoration de la dimension de Hausdorff des boréliens qui portent une telle mesure. On montre que certaines séries convergent presque partout par rapport à ces mesures. On en déduit, par exemple, que les ensembles$$\left\{x\in [0,2\pi ];\underset{n\to +\infty }{lim}{n}^{-a}\sum _{j=1}^n{e}^{i{\lambda }_{j}x}=z\right\},(\frac{1}{2}\<\alpha \<1,z\in \mathbf{C})$$ont 1 pour dimension de Hausdorff. On étend...

On étudie la décroissance à l’infini des coefficients de Fourier des fonctions $2\pi$-périodiques intégrables. Soit en particulier ${\lambda }_n$ une suite lacunaire d’entiers : ${\lambda }_{n+1}\ge 3{\lambda }_n$. On appelle suite $k$-lacunaire associée la suite ${\mu }_N^k$ des entiers qui s’écrivent sous la forme $\pm {\lambda }_{n_1}\pm {\lambda }_{n_2}\pm \cdots \pm {\lambda }_{n_k}$, $n_1\>n_2\>\cdots \>n_k$. On montre que si ${\int }_0^{2\pi }\left|f\right|({\mathrm{Log}}^{+}\left|f\right|{)}^{k/2}dx$ est fini, il en est de même de ${\sum }_N|\widehat{f}({\mu }_N^k){|}^2$. D’autre part, si ${\lambda }_n$ satisfait à une condition plus restrictive, quel que soit $1\<p\le 2$, si ${\int }_0^{2\pi }|f{|}^{p}dx$ est fini il en est de même de ${\sum }_k(p-1){\sum }_N|\widehat{f}({\mu }_N^k){|}^2$. Ces résultats sont généralisés à d’autres groupes que $\mathbf{R}/2\pi \mathbf{Z}$, et à d’autres...

A set S of integers is called ε-Kronecker if every function on S of modulus one can be approximated uniformly to within ε by a character. The least such ε is called the ε-Kronecker constant, κ(S). The angular Kronecker constant is the unique real number α(S) ∈ [0,1/2] such that κ(S) = |exp(2πiα(S)) - 1|. We show that for integers m > 1 and d ≥ 1, $\alpha 1,m,...,m^{d-1}=(m^{d-1}-1)/\left(2(m^d-1)\right)$ and α1,m,m²,... = 1/(2m).

Christensen has defined a generalization of the property of being of Haar measure zero to subsets of (abelian) Polish groups which need not be locally compact; a recent paper of Hunt, Sauer, and Yorke defines the same property for Borel subsets of linear spaces, and gives a number of examples and applications. The latter authors use the term “shyness” for this property, and “prevalence” for the complementary property. In the present paper, we construct a number of examples of non-shy Borel sets...