Incompressibility of leaves of singular holomorphic foliation germs

David Marín; Jean-François Mattei

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure (2008)

  • Volume: 41, Issue: 6, page 855-903
  • ISSN: 0012-9593

Abstract

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We consider a non-dicritic germ of singular holomorphic foliation ℱ defined in some closed ball 𝔹 ¯ ⊂ ℂ 2 with separatrix set S , satisfying some additional but generic hypotheses. We prove that there exists an open subset U ⊃ S of 𝔹 , such that for every leaf L of ℱ | ( U ∖ S ) the natural inclusion ı : L ↪ U ∖ S induces a monomorphism ı * : π 1 ( L ) ↪ π 1 ( U ∖ S ) at the fundamental group level. To do this, we introduce the geometrical notion of “foliated connexity” and we re-interpret the incompressibility using it. We also show the existence of some special transverse holomorphic sections, which allow us to introduce a “global monodromy representation” for the foliation.

How to cite

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Marín, David, and Mattei, Jean-François. "Incompressibilité des feuilles de germes de feuilletages holomorphes singuliers." Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure 41.6 (2008): 855-903. <http://eudml.org/doc/272228>.

@article{Marín2008,
abstract = {Nous considérons un germe de feuilletage holomorphe singulier non-dicritique $\mathcal \{F\}$ défini sur une boule fermée $\overline\{\mathbb \{B\}\}\subset \mathbb \{C\}^\{2\}$, satisfaisant des hypothèses génériques, de courbe de séparatrice $S$. Nous démontrons l’existence d’un voisinage ouvert $U$ de $S$ dans $\overline\{\mathbb \{B\}\}$ tel que, pour toute feuille $L$ de $\mathcal \{F\}_\{|(U\setminus S)\}$, l’inclusion naturelle $\imath : L\hookrightarrow U\setminus S$ induit un monomorphisme $\imath _*:\pi _1( L)\hookrightarrow \pi _1(U\setminus S)$ au niveau du groupe fondamental. Pour cela, nous introduisons la notion géométrique de « connexité feuilletée » avec laquelle nous réinterprétons la notion d’incompressibilité. Nous montrons aussi l’existence de sections holomorphes transverses satisfaisant la propriété de connexité feuilletée  ; elles nous permettent d’introduire une notion de « représentation de monodromie globale » du feuilletage.},
author = {Marín, David, Mattei, Jean-François},
journal = {Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure},
keywords = {ordinary differential equations; holomorphic foliations; vector fields; dynamical systems; 3-Manifolds; low-dimensional topology; singularities; fondamental group; monodromy},
language = {fre},
number = {6},
pages = {855-903},
publisher = {Société mathématique de France},
title = {Incompressibilité des feuilles de germes de feuilletages holomorphes singuliers},
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year = {2008},
}

TY - JOUR
AU - Marín, David
AU - Mattei, Jean-François
TI - Incompressibilité des feuilles de germes de feuilletages holomorphes singuliers
JO - Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure
PY - 2008
PB - Société mathématique de France
VL - 41
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SP - 855
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AB - Nous considérons un germe de feuilletage holomorphe singulier non-dicritique $\mathcal {F}$ défini sur une boule fermée $\overline{\mathbb {B}}\subset \mathbb {C}^{2}$, satisfaisant des hypothèses génériques, de courbe de séparatrice $S$. Nous démontrons l’existence d’un voisinage ouvert $U$ de $S$ dans $\overline{\mathbb {B}}$ tel que, pour toute feuille $L$ de $\mathcal {F}_{|(U\setminus S)}$, l’inclusion naturelle $\imath : L\hookrightarrow U\setminus S$ induit un monomorphisme $\imath _*:\pi _1( L)\hookrightarrow \pi _1(U\setminus S)$ au niveau du groupe fondamental. Pour cela, nous introduisons la notion géométrique de « connexité feuilletée » avec laquelle nous réinterprétons la notion d’incompressibilité. Nous montrons aussi l’existence de sections holomorphes transverses satisfaisant la propriété de connexité feuilletée  ; elles nous permettent d’introduire une notion de « représentation de monodromie globale » du feuilletage.
LA - fre
KW - ordinary differential equations; holomorphic foliations; vector fields; dynamical systems; 3-Manifolds; low-dimensional topology; singularities; fondamental group; monodromy
UR - http://eudml.org/doc/272228
ER -

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