Introduction de poids dans l'étude de problèmes aux limites

Henri Morel

Annales de l'institut Fourier (1962)

  • Volume: 12, page 299-413
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
On résout certains problèmes aux limites en introduisant des poids dans la construction des espaces de données et de solutions : les normes utilisées se calculent en intégrant une forme quadratique des dérivées d’une fonction, pour des mesures h i d x , où d x est la mesure de Lebesgue sur un ouvert ; le poids h i est localement intégrable, positif ; h i - 1 est localement borné, et h i est nulle ou singulière sur une partie de la frontière pour nous sortir du cas classique ; en même temps que les h i , il faut introduire des fonctions auxiliaires p et q  ; on obtient alors des théorèmes d’isomorphisme à l’aide du théorème de représentation de Lax-Milgram ou de sa variante figurant dans la thèse de Lions. On utilise certaines inégalités, pour lesquelles il a fallu chercher les meilleures constantes.Les théorèmes d’isomorphisme obtenus permettent de résoudre des problèmes de Dirichlet, de Neumann ou de type mixte, avec des espaces nouveaux. On peut alors traiter par cette méthode des opérateurs elliptiques à coefficients singuliers. D’autre part, les espaces de solutions introduits permettent d’avoir divers types de conditions de nullité au bord. On discute la méthode employée. Certains cas limites conduisent à des théorèmes d’existence sans unicité. Deux questions auxiliaires ont été traitées au préalable : la question de savoir si les espaces construits sont des espaces de distributions, qui nous conduit à certains critères, et la caractérisation des éléments de ces espaces par l’étude de leur comportement au bord.Dans un deuxième chapitre, on introduit des poids dans des méthodes d’application du théorème de Hille-Yosida à des problèmes d’évolution.

How to cite

top

Morel, Henri. "Introduction de poids dans l'étude de problèmes aux limites." Annales de l'institut Fourier 12 (1962): 299-413. <http://eudml.org/doc/73788>.

@article{Morel1962,
abstract = {On résout certains problèmes aux limites en introduisant des poids dans la construction des espaces de données et de solutions : les normes utilisées se calculent en intégrant une forme quadratique des dérivées d’une fonction, pour des mesures $h_idx$, où $dx$ est la mesure de Lebesgue sur un ouvert ; le poids $h_i$ est localement intégrable, positif ; $h^\{-1\}_i$ est localement borné, et $h_i$ est nulle ou singulière sur une partie de la frontière pour nous sortir du cas classique ; en même temps que les $h_i$, il faut introduire des fonctions auxiliaires $p$ et $q$ ; on obtient alors des théorèmes d’isomorphisme à l’aide du théorème de représentation de Lax-Milgram ou de sa variante figurant dans la thèse de Lions. On utilise certaines inégalités, pour lesquelles il a fallu chercher les meilleures constantes.Les théorèmes d’isomorphisme obtenus permettent de résoudre des problèmes de Dirichlet, de Neumann ou de type mixte, avec des espaces nouveaux. On peut alors traiter par cette méthode des opérateurs elliptiques à coefficients singuliers. D’autre part, les espaces de solutions introduits permettent d’avoir divers types de conditions de nullité au bord. On discute la méthode employée. Certains cas limites conduisent à des théorèmes d’existence sans unicité. Deux questions auxiliaires ont été traitées au préalable : la question de savoir si les espaces construits sont des espaces de distributions, qui nous conduit à certains critères, et la caractérisation des éléments de ces espaces par l’étude de leur comportement au bord.Dans un deuxième chapitre, on introduit des poids dans des méthodes d’application du théorème de Hille-Yosida à des problèmes d’évolution.},
author = {Morel, Henri},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {functional analysis},
language = {fre},
pages = {299-413},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Introduction de poids dans l'étude de problèmes aux limites},
url = {http://eudml.org/doc/73788},
volume = {12},
year = {1962},
}

TY - JOUR
AU - Morel, Henri
TI - Introduction de poids dans l'étude de problèmes aux limites
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1962
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 12
SP - 299
EP - 413
AB - On résout certains problèmes aux limites en introduisant des poids dans la construction des espaces de données et de solutions : les normes utilisées se calculent en intégrant une forme quadratique des dérivées d’une fonction, pour des mesures $h_idx$, où $dx$ est la mesure de Lebesgue sur un ouvert ; le poids $h_i$ est localement intégrable, positif ; $h^{-1}_i$ est localement borné, et $h_i$ est nulle ou singulière sur une partie de la frontière pour nous sortir du cas classique ; en même temps que les $h_i$, il faut introduire des fonctions auxiliaires $p$ et $q$ ; on obtient alors des théorèmes d’isomorphisme à l’aide du théorème de représentation de Lax-Milgram ou de sa variante figurant dans la thèse de Lions. On utilise certaines inégalités, pour lesquelles il a fallu chercher les meilleures constantes.Les théorèmes d’isomorphisme obtenus permettent de résoudre des problèmes de Dirichlet, de Neumann ou de type mixte, avec des espaces nouveaux. On peut alors traiter par cette méthode des opérateurs elliptiques à coefficients singuliers. D’autre part, les espaces de solutions introduits permettent d’avoir divers types de conditions de nullité au bord. On discute la méthode employée. Certains cas limites conduisent à des théorèmes d’existence sans unicité. Deux questions auxiliaires ont été traitées au préalable : la question de savoir si les espaces construits sont des espaces de distributions, qui nous conduit à certains critères, et la caractérisation des éléments de ces espaces par l’étude de leur comportement au bord.Dans un deuxième chapitre, on introduit des poids dans des méthodes d’application du théorème de Hille-Yosida à des problèmes d’évolution.
LA - fre
KW - functional analysis
UR - http://eudml.org/doc/73788
ER -

References

top
  1. [1] N. ARONSZAJN, On coercive integro-differential quadratic forms. Conference on Partial Differential equations, Univ. Kansas, 1954, Tech. Rep.n° 14, pp. 94-106. Zbl0067.32702
  2. [2] N. ARONSZAJN, A unique continuation theorem for solutions of elliptic partial differential equations or inequalities of second order, J. Math. Pures Appl., 36, 1957, pp. 235-249. Zbl0084.30402MR19,1056c
  3. [3] C. BLANC, Les équations différentielles de la technique, Éditions du Griffon, 1947, Neuchâtel. Zbl0034.05704MR9,586e
  4. [4] N. BOURBAKI, Topologie générale, Paris, Hermann. 
  5. [5] N. BOURBAKI, Intégration, Paris, Hermann, 1952. 
  6. [6] N. BOURBAKI, Intégration des mesures, Paris, Hermann, 1956. 
  7. [7] N. BOURBAKI, Espaces vectoriels topologiques I, Paris, Hermann, 1953. 
  8. [8] N. BOURBAKI, Espaces vectoriels topologiques II, Paris, Hermann, 1955. 
  9. [9] M. BRELOT, Sur l'allure des fonctions harmoniques et sous-harmoniques à la frontière, Math. Nachr. 4, 1950, pp. 298-307. Zbl0042.10603MR13,35b
  10. [10] M. BRELOT, La théorie moderne du potentiel. Annales de l'Institut Fourier (1952), pp. 112-139. Zbl0055.08903
  11. [11] P. BROUSSE et H. PONCIN, Quelques résultats généraux concernant la détermination de solutions d'équations elliptiques par les conditions aux frontières. Jubilé Scientifique de M. P. Riabonchinsky, Publ. Sci. et techn. du Ministère de l'Air, Paris, 1954. 
  12. [12] BEURLING, A. DENY, J. — Dirichlet spaces, Proc. nat. Acad. Sci. U.S.A. t. 45, 1959, p. 208-215. Zbl0089.08201MR21 #5098
  13. [13] T. CARLEMAN, Sur les systèmes linéaires aux dérivées partielles du premier ordre à deux variables. C. R. Acad. Sci., Paris, vol. 197, 1933, pp. 471-474. Zbl0007.16202JFM59.0469.03
  14. [14] H. CARTAN, Théorie générale du balayage en potentiel newtonien. Annales Univ. Grenoble, Math. Phys., 22 (1946), pp. 221-280. Zbl0061.22701MR8,581e
  15. [15] G. CHOQUET, Existence et unicité des représentations intégrales au moyen des points extrémaux dans les cônes convexes. Sem. Bourbaki, Décembre 1956. Zbl0071.10701
  16. [16] H. O. CORDES, Uber die Bestimmheit der Lösungen elliptischer Differential gleichungen durch Anfangsvorgaben, Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math. Phys.,n° 11 (1956), pp. 239-258. Zbl0074.08002
  17. [17] J. DENY, Les potentiels d'énergie finie. Acta Math., 82 (1950), pp. 107-183. Zbl0034.36201MR12,98e
  18. [18] J. DENY et J. L. LIONS, Les espaces du type de Beppo Levi. Annales de l'Institut Fourier, V (1953-1954), pp. 305-370. Zbl0065.09903MR17,646a
  19. J. DENY, Voir Beurling-Deny. 
  20. [19] DIEUDONNÉ-SCHWARTZ, La dualité dans les espaces F et LF. Annales de l'Institut Fourier, tome I, 1949, pp. 61-101. Zbl0035.35501
  21. [20] K. O. FRIEDRICHS, On the differentiability of the solutions of linear elliptic differential equations, Comm. on Pure and Applied Math., VI (1953), pp. 299-325. Zbl0051.32703MR15,430c
  22. [21] L. GÅRDING, Dirichlet Problem for linear elliptic partial differential equations, Math. Scand., 1 (1953), pp. 55-72. Zbl0053.39101MR16,366a
  23. [22] I. M. GEL'FAND et G. E. ŠILOV, Fourier transforms of rapidly increasing functions and questions of uniqueness of the solution of Cauchy's problem. Am. Math. Soc. Translations, Séries 2, vol. 5 et Uspehi Mat. Nauk (N. S.) 8, n° 6 (58), pp. 3-54 (1953). Zbl0077.10401
  24. [23] GROTHENDIECK, Sur les espaces (F) et (DF), Summa Brasiliensis, Math., vol. 3, 1954, pp. 57-123. Zbl0058.09803MR17,765b
  25. [24] HADAMARD, Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperboliques, Paris, 1932. Zbl0006.20501JFM58.0519.16
  26. [25] G. H. HARDY, J. E. LITTLEWOOD et G. POLYA, Inequalities, Cambridge, at the University Press, 1952. Zbl0047.05302MR13,727e
  27. [26] E. HEINZ, Uber die Eindeutigkeit beim Cauchyschen Anfangswertproblem einer elliptischen Differentialgleichung zweiter Ordnung, Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math. Phys.,n°1 (1955), pp. 1-12. Zbl0067.07503MR17,626c
  28. [27] M. HERVÉ, Quelques propriétés des transformations intérieures d'un domaine borné, Paris, Gauthier-Villars, 1951. Zbl0044.30302MR13,734e
  29. [28] HILLE, Functional analysis and semi-groups. Amer. Math. Soc. Coll. Publ. XXXI, New-York, 1948. Zbl0033.06501MR9,594b
  30. [29] L. HÖRMANDER, On the theory of general partial differential operators. Acta Math., t. 94, 1955, p. 160. Zbl0067.32201MR17,853d
  31. [30] L. HÖRMANDER et J. L. LIONS, Sur la complétion par rapport à une intégrale de Dirichlet. Math. Scand., t. 4, 1956, p. 259. Zbl0078.28003MR19,420e
  32. [31] L. HÖRMANDER, Unicity of the Cauchy's problem, Math. Scand., 1958. 
  33. [32] A. HUBER, Some results on generalised axially symmetric potential. Proceedings of the Conference on Differential Equations, University of Maryland, 1955. Zbl0072.31406
  34. [33] D. HUET, Phénomènes de perturbation singulière dans les problèmes aux limites. Annales de l'Institut Fourier, X (1960), pp. 67-150. Zbl0128.32904MR22 #9737
  35. LADYZENSKAYA, voir VISIK-LADYZENSKAYA. 
  36. [34] Peter LAX, A remark on the method of orthogonal projections. Comm. on Pure and Applied Math., IV (1951), pp. 457-464. Zbl0043.31701MR13,459b
  37. [35] J. LERAY, La résolution des problèmes de Cauchy et de Dirichlet au moyen du calcul symbolique et des projections orthogonales et obliques. Séminaire Bourbaki, Mai 1951. 
  38. [36] (BEPPO-)LEVI, Sul principio di Dirichlet. Rend. Palermo, 22 (1906), pp. 293-359. JFM37.0414.04
  39. J. L. LIONS, Voir aussi Deny-Lions, Hörmander-Lions. 
  40. [37] J. L. LIONS, Problèmes aux limites en théorie des distributions. Acta Mathematica, 94 (1955), pp. 13-151. Zbl0068.30902MR17,745d
  41. [38] J. L. LIONS, Ouverts m-réguliers. Revista di la Union Matematica Argentina, XVII de Homenage à Beppo-Levi, pp. 103-116, Buenos-Aires, 1955. Zbl0074.09502MR18,910c
  42. [39] J. L. LIONS, On elliptic partial differential equations. Cours professé à Bombay, Tata Institute, 1957. 
  43. [40] J. L. LIONS, Sur les problèmes mixtes pour certains systèmes paraboliques dans des ouverts non cylindriques. Annales de l'Institut Fourier, 7 (1957). Zbl0141.29403MR21 #1455
  44. [41] J. L. LIONS, Espaces intermédiaires entre espaces Hilbertiens et applications. Bull. Math. de la Soc. Sci. Math. Phys. de la R.P.R., 2 (50),n° 4, 1958. Zbl0097.09501MR27 #1812
  45. [42] J. L. LIONS, Quelques procédés d'interpolation d'opérateurs linéaires et quelques applications. Séminaire Schwartz, 5e année 1960-1961, exposés 1, 2, 3. 
  46. [43] J. L. LIONS et E. MAGENES, Problemi ai limiti non omogenei (I). Scuola Normale Superiore, Pisa, 1960, pp. 269-308. Zbl0095.30303MR24 #A3409
  47. [44] J. L. LIONS et E. MAGENES, Problèmes aux limites non homogènes (II) à paraître aux Annales de l'Institut Fourier, t. 11. Zbl0101.07901
  48. J. E. LITTLEWOOD, Voir G. H. HARDY, J. E. LITTLEWOOD et G. POLYA. 
  49. E. MAGENES, Voir J. L. LIONS et E. MAGENES. 
  50. [45] E. MAGENES et G. I. STAMPACCHIA, problemi al contorno per le equazioni differenziali di tipo ellitico. Scuola Normale Superiore, Pisa, 1958. Zbl0082.09601
  51. [46] B. MALGRANGE, Sur l'intégrale de Dirichlet. Math. Scand., 4 (1956), pp. 271-275. Zbl0078.28101MR19,420f
  52. [47] B. MALGRANGE, Sur une classe d'opérateurs différentiels hypoelliptiques. Bull. Soc. Math. de France, 85 (1957), pp. 283-306. Zbl0082.09303MR21 #5063
  53. [48] R. S. MARTIN, Minimal positive harmonic functions. Trans. Amer. Math. Soc., 49 (1941), pp. 125-159. Zbl0025.33302MR2,292hJFM67.0343.03
  54. [49] C. B. MORREY et L. NIRENBERG, On the analyticity of the solutions of linear elliptic systems of partial differential equations. Comm. on pure and applied math., X (1957), pp. 271-290. Zbl0082.09402MR19,654b
  55. [50] J. MOSER, A new proof of de Giorgi's Theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations. Comm. on Pure and Applied Math., XIII (1960), pp. 457-468. Zbl0111.09301MR30 #332
  56. [51] C. MÜLLER, On the behaviour of the solutions of the differential equation Δu = F(x, u) in the neighbourhood of a point. Comm. Pure and Applied, Math., 7 (1954), pp. 505-515. Zbl0056.32201
  57. [52] L. NAÏM, Sur le rôle de la frontière de R. S. Martin dans la théorie du Potentiel. Annales de l'Institut Fourier, t. 7, 1957, pp. 6-103. Zbl0086.30603MR20 #6608
  58. [53] NARASIMHAM, M. S. Identity of the weak and strong extensions of a linear elliptic différential operator. Proc. Nat. Acad. Sci., 43, 1957, p. 513. Zbl0081.11901
  59. L. NIRENBERG, Voir MORREY-NIRENBERG. 
  60. [54] L. NIRENBERG, On elliptic partial differential equations. Annali della Scuola Normale Superiore de Pisa, XIII (1959). Zbl0088.07601MR22 #823
  61. [55] R. N. PEDERSON, On the unique continuation theorem for certain second and fourth order elliptic equations. Comm. on pure and applied Math., XI (1958), pp. 67-80. Zbl0080.30703MR20 #5350
  62. [56] R. S. PHILLIPS, Dissipative operators and hyperbolic systems of partial differential equations. Trans. Amer. Math. Soc., 90 (1959), pp. 193-254. Zbl0093.10001MR21 #3669
  63. G. POLYA, Voir G. H. HARDY, J. E. LITTLEWOOD et G. POLYA. 
  64. H. PONCIN, Voir P. BROUSSE et H. PONCIN. 
  65. [57] E. T. POULSEN, Boundary value properties connected with some improper Dirichlet integrals. Math. Scand., 8 (1960), pp. 5-14. Zbl0097.30503MR24 #A2140
  66. [58] P. C. ROSENBLOOM, lecture notes : linear partial differential equations, Harvard University, 1957. 
  67. [59] J. SCHAUDER, Uber lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter ordnung. Math. Z., vol. 38, 1934, pp. 257-282. Zbl0008.25502JFM60.0422.01
  68. [60] J. SCHAUDER, Numerische Abschätzungen in elliptischen linearen Differentialgleichungen, Studia Math., 5 (1934), pp. 34-42. Zbl0010.20701JFM60.1129.03
  69. [61] M. SCHECHTER, On the Dirichlet problem for second order elliptic equations with coefficients singular at the boundary. Comm. on Pure and Applied Math., XIII, pp. 321-328. Zbl0106.07703MR22 #3872
  70. L. SCHWARTZ, Voir DIEUDONNÉ-SCHWARTZ. 
  71. [62] L. SCHWARTZ, Théorie des distributions, t. 1, Paris, Hermann, 1950. Zbl0037.07301MR12,31d
  72. L. SCHWARTZ, Théorie des distributions, t. 2, Paris, Hermann, 1951. Zbl0042.11405
  73. [63] L. SCHWARTZ, Les travaux de Gårding sur le problème de Dirichlet. Sem. Bourbaki, Mai, 1952. 
  74. [64] L. SCHWARTZ, Séminaire sur les équations aux dérivées partielles, 1954-1955 ; Séminaire sur les produits tensoriels topologiques, 1953-1954. 
  75. [65] L. SCHWARTZ, Problèmes aux limites dans les équations aux dérivées partielles elliptiques, Second Coll. de Bruxelles sur les équations aux dérivées part. (1955), Masson, Paris. Zbl0068.31001MR17,745c
  76. [66] L. SCHWARTZ, Ecuaciones diferenciales parciales elipticas. Curso explicado por el Profesor Laurent Schwartz, Bogota, D. E. Columbia, 1956. 
  77. [67] L. SCHWARTZ, Théorie des distributions à valeurs vectorielles, I, Ann. Inst. Fourier, tome 7, 1957 ; II, Ann. Inst. Fourier, tome 8, 1959. Zbl0089.09601MR21 #6534
  78. [68] L. SCHWARTZ, Particules élémentaires. Cours de Sao-Paulo, 1959, et Berkeley 1960. 
  79. [69] L. SCHWARTZ, Séminaire, 1959-1960, Unicité du Problème de Cauchy. Zbl0101.07302
  80. G. E. ŠILOV, Voir I. M. GEL'FAND et G. E. ŠILOV. 
  81. [70] SOBOLEV. Sur un théorème d'analyse fonctionnelle, Mat. Sbornik., 4 (46), (1938), p. 472. Zbl0022.14803JFM64.1100.02
  82. [71] SOBOLEV, Sur certaines applications de l'analyse fonctionnelle à la physique mathématique, Leningrad, 1950. 
  83. [72] G. STAMPACCHIA, Séminaire, L. Schwartz, 1960-1961, Paris. 
  84. G. STAMPACCHIA, Voir E. MAGENES et G. STAMPACCHIA. 
  85. [73] F. TRÉVES, Relations entre opérateurs différentiels, Acta Math., t. 101, 1959, pp. 1-139. Zbl0178.50201MR23 #A2625
  86. [74] VISǏK et O. A. LADYZENSKAYA, Boundary value problems for partial differential equations and certain classes of operator equations, Translation 10. Zbl0084.11002
  87. [75] Visǐk et O. A. Ladyzenskaya, Краевые задачи для уравний в частных производных и некоторых классов операторных уравнений, Uspehi Mat. Nauk. (N.S.), 11 (1956), n° 6 (72), 41-97. 
  88. [76] M. I. VISčK, On general boundary problems for elliptic differential equation, Trudy Moskov, Mat. Obšč., vol. 1 (1952), pp. 187-246. Zbl0131.32301MR14,473d
  89. [77] YOSǏDA, On the differentiability and the representation of one parameter semi-group of linear operators. Journal of the Math. Soc. of Japan, 1 (1948), pp. 15-21. Zbl0037.35302MR10,462e
  90. [78] YOSǏDA, On Cauchy's problem in the large for wave equation. Proc. of the Japan Acad., 28 (1952), pp. 396-403. Zbl0048.33402MR14,757a
  91. [79] A. WEIL, Intégration dans les groupes topologiques, Paris, Hermann. Zbl0063.08195JFM66.1205.02
  92. [80] H. WEYL, The method of orthogonal projection in potential theory. Duke Math. Journal, 7 (1940), pp. 411-444. Zbl0026.02001MR2,202aJFM66.0444.01
  93. J. B. DIAZ, Voir [89]. 
  94. [81] J. L. DOOB, Probability methods applied to the first boundary value problem. Proc. of the Third Berkeley Symp. on Math. Statistics and Probability, 2, 1954-1955, pp. 49-80 publié en 1956. Zbl0074.09101
  95. [82] DUNFORD-SCHWARTZ, Linear Operators, Part I, General theory. Pure Appl. Math., vol. 7 (1958). Zbl0084.10402
  96. [83] GAGLIARDO, Caratterizzazioni della trace sulla frontiera relative ad alcune classi di funzioni in n variables. Rend Sem. Math. Univ. Padova, 27 (1957), pp. 284-305. Zbl0087.10902MR21 #1525
  97. [84] J. L. LIONS, Équations différentielles opérationnelles et problèmes aux limites. Collection jaune, Springer, t. 111, 1961. Zbl0098.31101MR27 #3935
  98. [85] J. L. LIONS, Théorèmes de traces et d'interpolation (I). Annali Scuola Norm. Sup. Pisa, vol. 13 (1959), pp. 389-403. Zbl0097.09502
  99. [86] E. T. POULSEN, Boundary values in function spaces. A paraître. Zbl0104.33203
  100. [87] A. A. VACHARIN, Propriétés de traces, ..., Isv. Akad. Nauk., t. 23 (1959), pp. 421-454. 
  101. [88] A. WEINSTEIN, Generalized axially symmetric potential theory. Bull. Amer. Math. Soc., vol. 59 (1953), pp. 20-38. Zbl0053.25303MR14,749c
  102. [89] J. B. DIAZ et A. WEINSTEIN, On the fundamental solution of a singular Beltrami-Operator, Studies in Math. and Mech presented to R. von Mises, Acad. Press. Inc., New-York (1954), pp. 97-102. Zbl0057.08003MR16,481c
  103. [90] J. L. LIONS et H. MOREL, Espaces singuliers et problèmes aux limites non homogènes. A paraître. 
  104. [91] P. K. BEESACK, Hardy's Inequalities and its extensions. Pacific J. of Math., vol. 2, 1961, pp. 39-61, n° 1. Zbl0103.03503MR22 #12187

Citations in EuDML Documents

top
  1. Nguyen Phuong Các, The Dirichlet problem for a singular elliptic equation
  2. Alois Kufner, Lösungen des Dirichletschen Problems für elliptische Differentialgleichungen in Räumen mit Belegungsfunktionen
  3. Josef Voldřich, On the Dirichlet boundary value problem for nonlinear elliptic partial differential equations in Sobolev power weight spaces
  4. Marc Authier, Problème de Dirichlet pour des opérateurs hyperboliques de type positif
  5. Mohamed Salah Baouendi, Sur une classe d'opérateurs elliptiques dégénérés

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.