Sur la multiplicité de la première valeur propre des surfaces riemanniennes

Gérard Besson

Annales de l'institut Fourier (1980)

  • Volume: 30, Issue: 1, page 109-128
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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In this paper we give an upper bound for the multiplicity of eigenvalues of the Laplacian on a compact connected riemannian 2-manifold in which only the genus of the surface occurs.We improve some results of S.Y. Cheng by a refinement of his computations.Then we show that the multiplicity of the first eigenvalue of a riemannian sphere (or a torus) is maximum in the canonical case and that the equality is not characteristic. By a perturbation method we build a non trivial metric (having isometries) on the sphere (or the torus) such that the considered multiplicity is also maximum.

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Besson, Gérard. "Sur la multiplicité de la première valeur propre des surfaces riemanniennes." Annales de l'institut Fourier 30.1 (1980): 109-128. <http://eudml.org/doc/74437>.

@article{Besson1980,
abstract = {Dans cet article nous donnons une borne supérieure pour la multiplicité des valeurs propres du laplacien sur une variété riemannienne compacte connexe de dimension 2, ne faisant intervenir que le genre de la surface.Nous améliorons des résultats de S.Y. Cheng par un raffinement de sa technique.Nous montrons ensuite que la multiplicité de la première valeur propre d’une sphère riemannienne (resp. un tore riemannien) est maximale dans le cas canonique, l’égalité n’étant pas caractéristique. Nous construisons par une méthode de perturbations, une métrique non triviale (mais admettant des isométries) sur la sphère (resp. le tore) telle que la multiplicité en question soit la même que pour le cas canonique.},
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ER -

References

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  1. [1] S. AGMON, Lectures on elliptic boundary value problems, Van Nostrand, 1965. Zbl0142.37401MR31 #2504
  2. [2] N. ARONSZAJN, A unique continuation theorem for solution of elliptic partial differential equations or inequalities of second order, J. Math. Pure. Appl., 36 (1957), 235-249. Zbl0084.30402MR19,1056c
  3. [3] P. BERARD, Sur un lemme de perturbation, à paraître. 
  4. [4] M. BERGER, P. GAUDUCHON, E. MAZET, Le spectre d'une variété riemannienne, Lectures notes n° 194, Springer. Zbl0223.53034MR43 #8025
  5. [5] L. BERS, Local behaviour of solution of general linear elliptic equations, Comm. Pure. Appl. Math., 8 (1955), 473-476. Zbl0066.08101MR17,743a
  6. [6] J.P. BOURGUIGNON, Stratification de l'espace des métriques, Compositio Math., 30 (1975), 1-40. Zbl0301.58015MR54 #6189
  7. [7] M. BURROW, Representation theory of finite groups, 1966, Academic Press. Zbl0192.12303
  8. [8] S.Y. CHENG, Eigenfunctions and nodal Sets, Commentarii Math. Helv., 51 (1976), 43-55. Zbl0334.35022MR53 #1661
  9. [9] R. COURANT et G. HILBERT, Methods of mathematical physics, Vol. 1, interscience. Zbl57.0245.01
  10. [10] J. DIEUDONNE, Foundations of modern analysis, Academic Press, 1962. Zbl0122.29702
  11. [11] M. GREENBERG, Lectures on algebraic topology, Benjamin, 1967. Zbl0169.54403MR35 #6137
  12. [12] H. URAKAWA, On the least positive eigenvalue of the Laplacian for compact group manifolds, J. Math. Soc. Japan, 31 (1979), 209-226. Zbl0402.58012MR80e:58046
  13. [13] VALIRON, Théorie des fonctions, 1942, Masson. Zbl0028.20801MR7,283dJFM68.0099.03
  14. [14] J. WOLF, Spaces of constant curvature, Publish or perish (1974). Zbl0281.53034MR49 #7958

Citations in EuDML Documents

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  1. Marc Burger, Multiplicité de petites valeurs propres du laplacien
  2. Y. Colin de Verdière, Construction de laplaciens dont une partie finie (avec multiplicités) du spectre est donnée
  3. Colette Anné, Majoration de multiplicité pour l'opérateur de Schrödinger
  4. P. Bérard, Inégalités isopérimétriques et applications. Domaines nodaux des fonctions propres
  5. Gérard Besson, Sur la multiplicité des valeurs propres du laplacien
  6. Bruno Sévennec, Multiplicité du spectre des surfaces : une approche topologique
  7. Mikhail Karpukhin, Gerasim Kokarev, Iosif Polterovich, Multiplicity bounds for Steklov eigenvalues on Riemannian surfaces
  8. J. P. Bourguignon, Première valeur propre du laplacien et volume des sphères riemanniennes
  9. Colette Anné, Fonctions propres sur des variétés avec des anses fines, application à la multiplicité
  10. László Erdős, Spectral shift and multiplicity of the first eigenvalue of the magnetic Schrödinger operator in two dimensions

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