Variétés de modules alternatives

Jean-Marc Drezet

Annales de l'institut Fourier (1999)

  • Volume: 49, Issue: 1, page 57-139
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
Let X be a projective irreducible smooth algebraic variety. A fine moduli space of sheaves on X is a family ℱ of coherent sheaves on X parametrized by an integral variety M such that : ℱ is flat on M ; for all distinct points x , y of M the sheaves ℱ x , ℱ y on X are not isomorphic and ℱ is a complete deformation of ℱ x ; the family ℱ has an obvious local universal property. We define also a fine moduli space defined locally, where ℱ is replaced by a family ( ℱ i ) , where ℱ i is defined on an open subset U i of M , the U i covering M . This paper is devoted to the study of such fine moduli spaces. We first give some general results, and apply them in three cases on the projective plane : the fine moduli spaces of prioritary sheaves, the fine moduli spaces consisting of simple rank 1 sheaves, and those which come from moduli spaces of morphisms. In the first case we give an example of a fine moduli space defined locally but not globally, in the second an example of a maximal non projective fine moduli space, and in the third we find a projective fine moduli space consisting of simple torsion free sheaves, containing stable sheaves, but which is different from the corresponding moduli space of stable sheaves.

How to cite

top

Drezet, Jean-Marc. "Variétés de modules alternatives." Annales de l'institut Fourier 49.1 (1999): 57-139. <http://eudml.org/doc/75341>.

@article{Drezet1999,
abstract = {Soit $X$ une variété algébrique projective lisse irréductible. On appelle variété de modules fins de faisceaux sur $X$ une famille $\{\cal F\}$ de faisceaux cohérents sur $X$ paramétrée par une variété intègre $M$, possédant les propriétés suivantes : $\{\cal F\}$ est plate sur $M$; pour tous $x,y\in M$ distincts, les faisceaux $\{\cal F\}_x$ et $\{\cal F\}_y$ sur $X$ ne sont pas isomorphes et $\{\cal F\}$ est une déformation complète de $\{\cal F\}_x$; enfin $\{\cal F\}$ possède une propriété universelle locale évidente. On a aussi la notion de variété de modules fins définie localement, où $\{\cal F\}$ est remplacée par une famille $(\{\cal F\}_i),\;\{\cal F\}_i$ étant définie sur un ouvert $U_i$ de $M$, les $U_i$ recouvrant $M$. Cet article est consacré à l’étude de ces variétés de modules. On commence par donner des résultats théoriques généraux. On étudie ensuite trois types de variétés de modules fins sur le plan projectif : les variétés de modules de faisceaux prioritaires, celles qui sont constituées de faisceaux simples de rang 1, et celles qui proviennent de variétés de modules de morphismes. Dans le premier cas, on donne des exemples de variétés de modules fins définies localement mais non globalement, dans le second des exemples de variétés de modules fins maximales mais non projectives, et dans le troisième on trouve une variété de modules fins projective, constituée de faisceaux simples sans torsion, contenant des faisceaux stables, mais distincte de la variété de modules de faisceaux stables correspondante.},
author = {Drezet, Jean-Marc},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {fine moduli spaces; moduli space of stable sheaves; universal sheaves},
language = {fre},
number = {1},
pages = {57-139},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Variétés de modules alternatives},
url = {http://eudml.org/doc/75341},
volume = {49},
year = {1999},
}

TY - JOUR
AU - Drezet, Jean-Marc
TI - Variétés de modules alternatives
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1999
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 49
IS - 1
SP - 57
EP - 139
AB - Soit $X$ une variété algébrique projective lisse irréductible. On appelle variété de modules fins de faisceaux sur $X$ une famille ${\cal F}$ de faisceaux cohérents sur $X$ paramétrée par une variété intègre $M$, possédant les propriétés suivantes : ${\cal F}$ est plate sur $M$; pour tous $x,y\in M$ distincts, les faisceaux ${\cal F}_x$ et ${\cal F}_y$ sur $X$ ne sont pas isomorphes et ${\cal F}$ est une déformation complète de ${\cal F}_x$; enfin ${\cal F}$ possède une propriété universelle locale évidente. On a aussi la notion de variété de modules fins définie localement, où ${\cal F}$ est remplacée par une famille $({\cal F}_i),\;{\cal F}_i$ étant définie sur un ouvert $U_i$ de $M$, les $U_i$ recouvrant $M$. Cet article est consacré à l’étude de ces variétés de modules. On commence par donner des résultats théoriques généraux. On étudie ensuite trois types de variétés de modules fins sur le plan projectif : les variétés de modules de faisceaux prioritaires, celles qui sont constituées de faisceaux simples de rang 1, et celles qui proviennent de variétés de modules de morphismes. Dans le premier cas, on donne des exemples de variétés de modules fins définies localement mais non globalement, dans le second des exemples de variétés de modules fins maximales mais non projectives, et dans le troisième on trouve une variété de modules fins projective, constituée de faisceaux simples sans torsion, contenant des faisceaux stables, mais distincte de la variété de modules de faisceaux stables correspondante.
LA - fre
KW - fine moduli spaces; moduli space of stable sheaves; universal sheaves
UR - http://eudml.org/doc/75341
ER -

References

top
  1. [1] E. BRIESKORN, Über holomorphe ∙n-Bündel über ∙1, Math. Ann., 157 (1967), 343-357. Zbl0128.17003MR37 #5897
  2. [2] J.-M. DRÉZET, Fibrés exceptionnels et suite spectrale de Beilinson généralisée sur ∙2(ℂ), Math. Ann., 275 (1986), 25-48. Zbl0578.14013MR88b:14014
  3. [3] J.-M. DRÉZET, Fibrés exceptionnels et variétés de modules de faisceaux semi-stables sur ∙2(ℂ), J. reine angew. Math., 380 (1987), 14-58. Zbl0613.14013MR89e:14016
  4. [4] J.-M. DRÉZET, Points non factoriels des variétés de modules de faisceaux semi-stables sur une surface rationnelle, J. reine angew. Math., 413 (1991), 99-126. Zbl0711.14029MR92d:14009
  5. [5] J.-M. DRÉZET, Groupe de Picard des variétés de modules de faisceaux semi-stables sur ∙2(ℂ), Ann. Inst. Fourier, 38-3 (1988), 105-168. Zbl0616.14006MR89m:14007
  6. [6] J.-M. DRÉZET, Variétés de modules extrémales de faisceaux semi-stables sur ∙2(ℂ), Math. Ann., 290 (1991), 727-770. Zbl0755.14005MR92m:14017
  7. [7] J.-M. DRÉZET, Espaces abstraits de morphismes et mutations, Preprint Paris VII, 1996. Zbl0937.14030
  8. [8] J.-M. DRÉZET, Quotients algébriques par des groupes non réductifs et variétés de modules de complexes, Intern. J. of Math, vol. 9, n° 7 (1998), 769-819. Zbl0947.14009MR99m:14026
  9. [9] J.-M. DRÉZET, J. LE POTIER, Fibrés stables et fibrés exceptionnels sur ∙2, Ann. Éc. Norm. Sup., 18 (1985), 193-244. Zbl0586.14007MR87e:14014
  10. [10] J.-M. DRÉZET, M.S. NARASIMHAN, Groupe de Picard des variétés de modules de fibrés semi-stables sur les courbes algébriques, Invent. Math., 97 (1989), 53-94. Zbl0689.14012MR90d:14008
  11. [11] J.-M. DRÉZET, Trautmann, G., Moduli spaces of decomposable morphisms of sheaves and quotients by non-reductive groups, Preprint, 1998, e-print service at http ://xxx.lanl.gov/list/math/9805. 
  12. [12] D. GIESEKER, On the moduli of vector bundles on an algebraic surface, Ann. Math., 106 (1977), 45-60. Zbl0381.14003MR81h:14014
  13. [13] A.L. GORODENTSEV, Exceptional bundles on surfaces with a moving anticanonical class, Math. Izvestiya, AMS Transl., 33 (1989), 67-83. Zbl0736.14003MR90d:14017
  14. [14] A.L. GORODENTSEV, A.N. RUDAKOV, Exceptional vector bundles on projective spaces, Duke Math. J., 54 (1987), 115-130. Zbl0646.14014MR88e:14018
  15. [15] A. GROTHENDIECK, Techniques de construction et théorèmes d'existence en géométrie algébrique IV : les schémas de Hilbert, Séminaire Bourbaki, 1960/1961, n° 221. Zbl0236.14003
  16. [16] A. HIRSCHOWITZ, Rank techniques and jump stratifications. Vector bundles on algebraic varieties, Tata Inst. Bombay, Oxford Univ. Press, 1987, 159-205. Zbl0682.14009MR88h:14012
  17. [17] A. HIRSCHOWITZ, Laszlo, Y., Fibrés génériques sur le plan projectif, Math. Ann., 297 (1993), 85-102. Zbl0808.14007MR94i:14046
  18. [18] A. HIRSCHOWITZ, Narasimhan, M.S., Fibrés de t'Hooft spéciaux et applications, Enumerative geometry and Classical algebraic geometry, Progr. in Math., 24 (1982). Zbl0503.14006MR84g:14016
  19. [19] B.V. KARPOV, Semistable sheaves on a two-dimensional quadric and Kronecker modules, Math. Izvestiya, AMS Transl., 40 (1993), 33-66. Zbl0785.14006MR93f:14007
  20. [20] B.V. KARPOV, Semistable sheaves on Del Pezzo surfaces and Kronecker modules, Preprint, 1994. 
  21. [21] J. LE POTIER, Fibrés stables de rang 2 sur ∙2(ℂ), Math. Ann., 241 (1979), 217-256. Zbl0405.14008MR80m:14012
  22. [22] J. LE POTIER, Fibré déterminant et courbes de saut sur les surfaces algébriques, Complex Projective Geometry, London Math. Soc., Bergen, 1989, 213-240. Zbl0788.14045MR94e:14058
  23. [23] J. LE POTIER, Systèmes cohérents et structures de niveau, Astérisque, Soc. Math. de France, 214 (1993). Zbl0881.14008MR95e:14005
  24. [24] J. LE POTIER, Fibrés vectoriels sur les courbes algébriques, Public. Math. Univ. Paris 7, Denis Diderot, 35, 1995. Zbl0842.14025MR97c:14034
  25. [25] J. LE POTIER, Faisceaux semi-stables de dimension 1 sur le plan projectif, Revue Roumaine Math. Pures Appl., 38 (1993), 635-678. Zbl0815.14029MR95a:14014
  26. [26] M. MARUYAMA, Moduli of stable sheaves, I, J. Math. Kyoto Univ., 17 (1977), 91-126. Zbl0374.14002MR56 #8567
  27. [27] M. MARUYAMA, Moduli of stable sheaves, II, J. Math. Kyoto Univ., 18 (1978), 577-614. Zbl0395.14006MR82h:14011
  28. [28] D. MUMFORD, Fogarty, J., Geometric invariant theory, Ergeb. Math. Grenzgeb, Bd. 34., Berlin Heidelberg New York, Springer, 1982. Zbl0504.14008MR86a:14006
  29. [29] Grothendieck, Lect. Notes in Math., Springer-Verlag, 224 (1971). Zbl0234.14002
  30. [30] C.T. SIMPSON, Moduli of representations of the fundamental group of a smooth projective variety, I, Publ. Math. IHES, 79 (1994), 47-129. Zbl0891.14005MR96e:14012
  31. [31] Y. SIU, G. TRAUTMANN, Deformations of coherent analytic sheaves with compact supports, Memoirs of the Amer. Math. Soc., vol. 29, n° 238 (1981). Zbl0526.32021MR82c:32023
  32. [32] S.A. STRØMME, Deforming vector bundles on the projective plane, Math. Annalen, 263 (1983), 385-397. Zbl0497.14005MR85c:14012
  33. [33] K. YOSHIOKA, A note on the universal family of moduli of stable sheaves, preprint, 1997. 

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.